[論文レビュー] Palette Sparsification Beyond $(\Delta+1)$ Vertex Coloring

Noga Alon, Sepehr Assadi|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、古典的な$(\Delta+1)$頂点彩色枠組みを超えてパレットスパース化を拡張し、$(1+\varepsilon)\Delta$彩色において、各頂点から$O_\varepsilon(\sqrt{\log n})$色をサンプリングするだけで、高確率で適切な彩色が得られることを証明している。さらに、三角形を含まないグラフおよびローカルリスト彩色の設定においてもスパース化定理を確立し、グラフ彩色のためのより優れた部分線形およびストリーミングアルゴリズムの実現を可能にしている。

ABSTRACT

A recent palette sparsification theorem of Assadi, Chen, and Khanna [SODA'19] states that in every $n$-vertex graph $G$ with maximum degree $\Delta$, sampling $O(\log{n})$ colors per each vertex independently from $\Delta+1$ colors almost certainly allows for proper coloring of $G$ from the sampled colors. Besides being a combinatorial statement of its own independent interest, this theorem was shown to have various applications to design of algorithms for $(\Delta+1)$ coloring in different models of computation on massive graphs such as streaming or sublinear-time algorithms. In this paper, we further study palette sparsification problems: * We prove that for $(1+\varepsilon) \Delta$ coloring, sampling only $O_{\varepsilon}(\sqrt{\log{n}})$ colors per vertex is sufficient and necessary to obtain a proper coloring from the sampled colors. * A natural family of graphs with chromatic number much smaller than $(\Delta+1)$ are triangle-free graphs which are $O(\frac{\Delta}{\ln{\Delta}})$ colorable. We prove that sampling $O(\Delta^{\gamma} + \sqrt{\log{n}})$ colors per vertex is sufficient and necessary to obtain a proper $O_{\gamma}(\frac{\Delta}{\ln{\Delta}})$ coloring of triangle-free graphs. * We show that sampling $O_{\varepsilon}(\log{n})$ colors per vertex is sufficient for proper coloring of any graph with high probability whenever each vertex is sampling from a list of $(1+\varepsilon) \cdot deg(v)$ arbitrary colors, or even only $deg(v)+1$ colors when the lists are the sets $\{1,\ldots,deg(v)+1\}$. Similar to previous work, our new palette sparsification results naturally lead to a host of new and/or improved algorithms for vertex coloring in different models including streaming and sublinear-time algorithms.

研究の動機と目的

• $(\Delta+1)$彩色設定を超えて、利用可能な色の数が$\Delta+1$とは著しく異なる場合のパレットスパース化フレームワークを拡張すること。
• $(1+\varepsilon)\Delta$彩色におけるスパース化閾値を分析し、各頂点から$O_\varepsilon(\sqrt{\log n})$色をサンプリングするだけで十分であることを示すこと。
• 三角形を含まないグラフに対して、独自のパレットスパース化定理を構築し、$O(\Delta / \ln \Delta)$-彩色可能なグラフにおいて、各頂点から$O(\Delta^\gamma + \sqrt{\log n})$色をサンプリングすれば十分であることを示すこと。
• 各頂点が自身の次数に比例するサイズの色リストを使用するローカルパレットスパース化の結果を確立し、$(1+\varepsilon)\cdot \deg(v)$リストまたは$\deg(v)+1$リストの場合に、$O_\varepsilon(\log n)$のサンプリング色数で高確率で適切な彩色が得られることを証明すること。
• 新規スパース化結果を基に、ストリーミングおよびクエリモデルにおけるグラフ彩色のための新しい部分線形およびストリーミングアルゴリズムを導出し、空間およびクエリ複雑性の面で先行研究を改善すること。

提案手法

• $(1+\varepsilon)\Delta$パレットから各頂点が$O_\varepsilon(\sqrt{\log n})$色をサンプリングすることで、確率的解析と集中不等式を用いて、高確率で適切な彩色が得られることを証明する。
• 既知の彩色数の上限（$O(\Delta / \ln \Delta)$）を用いて三角形を含まないグラフの構造を分析し、この制約下でのスパース化を適用し、$O(\Delta^\gamma + \sqrt{\log n})$のサンプリング色数が十分であることを証明する。
• 各頂点$v$が$\approx \deg(v)$のサイズのリストから色をサンプリングするローカルパレットスパース化モデルを導入し、高確率で適切な彩色が得られるために各頂点から$O_\varepsilon(\log n)$の色をサンプリングすれば十分であることを証明する。
• 頂点を$k$個の集合にランダムに分割することで最大次数と近傍密度を低下させ、有界なパレットサイズで再帰的彩色を可能にする。
• チェルノフ不等式と和集合不等式を用いて、ランダム分割後の誘導部分グラフにおける近傍内の辺数と次数を制御する。
• スパース化と既存の部分線形アルゴリズムフレームワークを組み合わせることで、ストリーミングおよびクエリモデルにおける空間およびクエリ複雑性の改善を実現するアルゴリズム的含みを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高確率で$(1+\varepsilon)\Delta$彩色を得るために、各頂点から最低でも何色をサンプリングする必要があるか？
• RQ2 彩色数が$\Delta+1$よりも著しく低いグラフ、例えば三角形を含まないグラフにおいて、パレットスパース化を効果的に拡張できるか？
• RQ3 各頂点の次数に比例するサイズのリスト（$O(\deg(v))$）を用いたローカルリスト彩色において、各頂点から対数未満のサンプリング色数でパレットスパース化定理が成り立つか？
• RQ4 新規スパース化定理を活用して、ストリーミングまたはクエリモデルにおけるグラフ彩色のためのより優れた部分線形アルゴリズムを設計できるか？
• RQ5 スパース近傍または三角形を含まないグラフにおいて、各頂点のサンプリング色数と彩色数の間のトレードオフは何か？

主な発見

• $(1+\varepsilon)\Delta$彩色において、各頂点から$O_\varepsilon(\sqrt{\log n})$色をサンプリングすれば、高確率で適切な彩色が得られ、かつそれが必要十分であることが示された。
• 三角形を含まないグラフ（$O(\Delta / \ln \Delta)$-彩色可能）において、各頂点から$O(\Delta^\gamma + \sqrt{\log n})$色をサンプリングすれば、高確率で$O(\Delta^\gamma / \ln \Delta)$-彩色が可能であり、これが必要十分である。
• ローカルリスト彩色モデルにおいて、各頂点が$(1+\varepsilon)\cdot \deg(v)$色のリストからサンプリングする場合、各頂点から$O_\varepsilon(\log n)$色をサンプリングすれば、高確率で適切な彩色が得られる。
• 各頂点が正確に$\deg(v)+1$色のリスト（例：$\{1, \dots, \deg(v)+1\}$）を持つ特別な場合においても、各頂点から$O_\varepsilon(\log n)$色をサンプリングすれば、高確率で適切な彩色が得られることを示した。
• 新規スパース化定理を基に、$\delta$-スパース近傍を有するグラフにおける$O(\Delta / \ln(1/\delta))$彩色を実現する、$\widetilde{O}(n/\delta)$の空間を要する確率的1パスストリーミングアルゴリズムが得られた。
• 同様のグラフクラスに対して、$\widetilde{O}(n^{3/2}/\delta)$のクエリ数と$\widetilde{O}(n^{3/2} \cdot \text{poly}(1/\delta))$の実行時間を持つ非適応的クエリアルゴリズムが得られた。