[論文レビュー] Parabolic nef currents on hyperkaehler manifolds

Misha Verbitsky|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ハイパーケーラー多様体上で、上部次数が消えるようなケーラー形式の極限であるパラボリックネフ電流について、そのLelong集合がコイソトロピック部分多様体であることを確立する。一般のハイパーケーラー多様体でピカール数が1の場合、これはすべてのLelong数が消えることを意味し、Pic(M)の生成子がパラボリックであれば、非自明なコイソトロピック部分多様体が存在することを示す。

ABSTRACT

Let M be a compact, holomorphically symplectic Kahler manifold, and $η$ a (1,1)-current which is nef (a limit of Kahler forms). Assume that the cohomology class of $η$ is parabolic, that is, its top power vanishes. We prove that all Lelong sets of $η$ are coisotropic. When M is generic, this is used to show that all Lelong numbers of $η$ vanish. We prove that any hyperkahler manifold with Pic(M) of rank 1 has non-trivial coisotropic subvarieties, if a generator of Pic(M) is parabolic.

研究の動機と目的

• ハイパーケーラー多様体上のパラボリックネフ電流の代数幾何的性質を研究すること。
• コイソトロピック幾何学を用いて、パラボリックネフ電流のLelong集合の構造を特定すること。
• 特に一般のハイパーケーラー多様体において、Lelong数が消える条件を確立すること。
• ピカール群がZで、第一チャーン類がパラボリックである場合に非自明なコイソトロピック部分多様体が存在することを証明すること。
• ハイパーケーラーSYZ予想とボゴモロフ＝ボアヴィル＝フジキ形式を、ネフ電流の幾何学と結びつけること。

提案手法

• ボゴモロフ＝ボアヴィル＝フジキ形式を用いて、二次形式 $ q(\eta,\eta) $ の消えることによってパラボリッククラスを定義する。
• ネフ電流の正則化技術を適用し、正の閉形式の列が電流 $ \eta $ に収束するように構成する。
• フジキの公式を用いて、$ q(\eta,\eta) = 0 $ ならば $ \eta^{n+1} = 0 $ が成り立つことを示し、上部次数が消えることを導く。
• $ \eta $-コイソトロピック部分多様体を、ある $ c > 0 $ に対して $ \eta^p - c[Z] \geq 0 $ を満たすものとして定義する。
• $ \Omega^{n-p+1} \wedge \overline{\Omega}^{n-p+1} $ の弱正則性とコhomological消滅を用いて、 $ \eta^{n-p+1} \wedge [Z] = 0 $ を示し、コイソトロピック性を導く。
• 一般のハイパーケーラー多様体ではすべての部分多様体が正則シンプレクティックであるため、非自明なコイソトロピック部分多様体が存在しない場合にはLelong数が消えることが強制される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイパーケーラー多様体上のパラボリックネフ電流のLelong集合の幾何的性質は何か？
• RQ2 パラボリックネフ電流のLelong数が消える条件は何か？
• RQ3 $ \operatorname{Pic}(M) = \mathbb{Z} $ で、 $ \operatorname{Pic}(M) $ の生成子がパラボリックであるハイパーケーラー多様体は、非自明なコイソトロピック部分多様体を必ず持つか？
• RQ4 ハイパーケーラーSYZ予想は、ネフ電流のコhomologicalおよび幾何的性質とどのように関係するか？
• RQ5 コイソトロピック条件は、コhomological消滅と電流の正則性によって特徴付けられるか？

主な発見

• ハイパーケーラー多様体上のパラボリックネフ電流 $ \eta $ のすべてのLelong集合は、正則シンプレクティック形式に関してコイソトロピック部分多様体である。
• 一般のハイパーケーラー多様体において、 $ \eta $ のコhomology類がパラボリックでネフであれば、 $ \eta $ のすべてのLelong数は消える。
• $ \operatorname{Pic}(M) = \mathbb{Z} $ であるハイパーケーラー多様体において、 $ \operatorname{Pic}(M) $ の生成子がパラボリックであれば、 $ c_1(L) $ は有理数的除援によって表されるか、または $ M $ は非自明なコイソトロピック部分多様体を含む。
• $ \eta $-コイソトロピック条件は、部分多様体 $ Z $ が $ [\eta]^{n-p+1}|_Z = 0 $ を満たすことを意味する。ここで $ p $ は $ Z $ の複素codimensionである。
• コイソトロピック条件は、 $ Z $ の滑らか部分での $ \Omega^{n-p+1} $ の消滅に等しく、これはシンプレクティック空間における部分空間の最小可能なランクである。
• 証明は、 $ \eta^{n+1} $ のコhomological消滅と、 $ \eta^p \wedge \Omega^{n-p+1} \wedge \overline{\Omega}^{n-p+1} $ の正則性に依拠しており、これにより電流が $ Z $ 上で消えることが強制される。