[論文レビュー] Partial Resolutions of Orbifold Singularities via Moduli Spaces of HYM-type Bundles

Sardo Infirri, Alexander|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、$\ mathbb{C}^2$ 上のインスタントンのモジュライ空間のKronheimerの構成を $\ mathbb{C}^n$ に一般化し、$\ mathbb{C}^n$ 上に線形的に作用する有限群 $\ Gamma$ に対して、$\ Gamma$-可換なヘルミートヤンミルズ型のバンドルのモジュライ空間 $X_\zeta$ が、軌道特異点 $\ mathbb{C}^n/\Gamma$ の部分的解消を与えることを示している。$\ zeta = 0$ のとき $X_0 \cong \mathbb{C}^n/\Gamma$ であり、$\ zeta \neq 0$ のとき、写像 $X_\zeta \to X_0$ は、ALE カラビ・ヤウ計量を備えた部分的解消であり、一般の $\ zeta$ に対しては、クリープント解消の挙動を示唆している。主な貢献は、$\ Gamma \subset \mathrm{SU}(3)$ の場合に、明示的な特異点とホロモーフィック形式を伴うゲージ理論的モジュライ空間を通じた解消の幾何的構成である。

ABSTRACT

Let $\Gamma$ be a finite group acting linearly on $\C^n$, freely outside the origin, and let $N$ be the number of conjugacy classes of $\Gamma$ minus one. A construction of Kronheimer of moduli spaces $X_\zeta$ of translation-invariant $\Gamma$-equivariant instantons on $\C^2$ is generalised to $\C^n$. The moduli spaces $X_\zeta$ depend on a parameter $\zeta\in\Q^N$. The following results are proved: for $\zeta=0$, $X_0$ is isomorphic to $\C^n/\Gamma$; if $\zeta eq 0$, the natural maps $X_\zeta o X_0$ are partial resolutions. The moduli $X_\zeta$ are furthermore shown to admit K\ahler metrics which are Asymptotically Locally Euclidean (ALE). A description of the singularities of $X_\zeta$ using deformation complexes is given, and is applied in particular to the case $\Gamma\subset\SU(3)$. It is conjectured that for general $\Gamma$ and generic $\zeta$ that the singularities of $X_\zeta$ are at most quadratic. When $\Gamma\subset\SU(3)$ a natural holomorphic 3-form is constructed on the smooth locus of $X_\zeta$, which is conjectured to be non-vanishing. The morphims $X_\zeta o X_0$ are expected to be crepant resolutions and $X_\zeta$ to be smooth for generic choices of the parameter $\zeta$. Related open problems in higher-dimensional complex geometry are also mentioned. The paper has a companion paper which identifies the moduli $X_\zeta$ with representation moduli of McKay quivers, and describes them completely in the case of abelian groups.

研究の動機と目的

• $\ mathbb{C}^2$ 上のインスタントンのモジュライ空間のKronheimerの構成を、有限群作用を伴う高次元の軌道 $\mathbb{C}^n/\Gamma$ に拡張すること。
• $\ zeta \in \mathbb{Q}^N$ によってパラメータ化される、結果として得られるモジュライ空間 $X_\zeta$ の幾何を、特異的商 $\mathbb{C}^n/\Gamma$ の部分的解消として研究すること。
• $\ Gamma \subset \mathrm{SU}(3)$ の場合を含め、$X_\zeta$ の特異点を変形複体を用いて分析し、その性質を調査すること。
• $\ Gamma \subset \mathrm{SU}(3)$ の場合に、$X_\zeta$ の滑らか領域に自然なホロモーフィック3形式を構成し、その非消滅を予想すること。

提案手法

• $\ mathbb{C}^2$ から $\ mathbb{C}^n$ への $\ Gamma$-可換インスタントンモジュライ空間の構成を一般化し、平行移動不変な $\ Gamma$-可換ヘリューミートヤンミルズ型バンドルを用いる。
• $\ zeta \in \mathbb{Q}^N$ によってモジュライ空間 $X_\zeta$ をパラメータ化し、$N$ は $\ Gamma$ の共軌道類の数から1を引いたものである。
• $X_\zeta \to X_0$ である自然な準同型写像が部分的解消であることを示し、$X_0 \cong \mathbb{C}^n/\Gamma$ であることを示す。
• $X_\zeta$ が漸近的に局所的にオーロニック（ALE）なカラビ・ヤウ計量を備えていることを証明する。
• 変形複体を用いて $X_\zeta$ の特異点を記述し、特に $\ Gamma \subset \mathrm{SU}(3)$ の場合を分析する。
• $\ Gamma \subset \mathrm{SU}(3)$ の場合に、$X_\zeta$ の滑らか領域にホロモーフィック3形式を構成し、その非消滅を予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kronheimerの $\ mathbb{C}^2$ 上のインスタントンモジュライ空間の構成を、有限群作用を伴う $\ mathbb{C}^n$ にどのように一般化できるか？
• RQ2 $\ zeta \neq 0$ のとき、$X_\zeta$ が $\ mathbb{C}^n/\Gamma$ の部分的解消として果たす幾何的性質は何か？
• RQ3 一般の $\ Gamma$ に対して、一般の $\ zeta$ における $X_\zeta$ の特異点は、最高でも2次特異点を有するか？
• RQ4 $\ Gamma \subset \mathrm{SU}(3)$ の場合に、$X_\zeta$ の滑らか領域に自然なホロモーフィック3形式が存在し、それが非消滅するか？
• RQ5 写像 $X_\zeta \to X_0$ はクリープント解消であり、一般の $\ zeta$ に対して $X_\zeta$ は滑らかであるか？

主な発見

• $\ zeta = 0$ のとき、モジュライ空間 $X_0$ は軌道 $\ mathbb{C}^n/\Gamma$ に同型であり、特異的商の自然なコンパクト化を提供する。
• $\ zeta \neq 0$ のとき、写像 $X_\zeta \to X_0$ は部分的解消であり、$X_\zeta$ は漸近的に局所的にオーロニック（ALE）なカラビ・ヤウ計量を備えている。
• $X_\zeta$ の特異点は変形複体を用いて記述され、$\ Gamma \subset \mathrm{SU}(3)$ の場合、一般の $\ zeta$ に対して特異点は最高でも2次であると予想される。
• $\ Gamma \subset \mathrm{SU}(3)$ の場合、$X_\zeta$ の滑らか領域に自然なホロモーフィック3形式が構成され、その非消滅が予想される。
• 写像 $X_\zeta \to X_0$ はクリープント解消であると予想され、一般の $\ zeta$ に対して $X_\zeta$ は滑らかであると予想される。これは、ゲージ理論的モジュライ空間を通じたクリープント解消の幾何的実現を示唆する。