[論文レビュー] Partition functions for equivariantly twisted $\mathcal{N}=2$ gauge theories on toric Kähler manifolds

Diego Rodrı́guez-Gómez, Johannes Schmude|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 41被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、トーリックケーラー多様体（例：$\mathbb{CP}^2$）上の$χ=2$ゲージ理論に対して、等配上のねじれを施した後、等配上局在法を用いて超対称的分配関数を計算する。1ループ行列式が自明であることが判明し、全分配関数は$U(1)$作用の固定点からの寄与に分解され、それぞれが$\Omega$-背景のネクラソフ分配関数に類似した形を取る。これは、まだ物理的意味が解明されていない新たな分解構造を示している。

ABSTRACT

We consider $\mathcal{N}=2$ supersymmetric pure gauge theories on toric Kähler manifolds, with particular emphasis on $\mathbb{CP}^2$. By choosing a vector generating a $U(1)$ action inside the torus of the manifold, we construct equivariantly twisted theories. Then, using localization, we compute their supersymmetric partition functions. As expected, these receive contributions from a classical, a one-loop, and an instanton term. It turns out that the one-loop term is trivial and that the instanton contributions are localized at the fixed points of the $U(1)$. In fact the full partition function can be re-written in a factorized form with contributions from each of the fixed points. The full significance of this is yet to be understood.

研究の動機と目的

• コンpakトなトーリックケーラー多様体上における$\mathcal{N}=2$超対称ゲージ理論の構造を理解すること。
• 局在法を用いた曲がった多様体上での正確な分配関数の計算フレームワークを構築すること。
• 等平台上のねじれが、トーリックケーラー多様体上での超対称性の保存に与える役割を分析すること。
• 分配関数が$U(1)$作用の固定点からの寄与にどのように分解されるかを調査すること。
• 1ループ行列式が自明であることと、ネクラソフ型インスタントン寄与が現れる意義を明確にすること。

提案手法

• トーリックケーラー多様体上に$\mathcal{N}=2$ゲージ理論を構築する。
• 曲がった背景上での理論定義のために、剛体超対称性と結合するコンフォール超重力理論を用いる。
• トーラス作用の$U(1)$生成子を用いて等平台上のねじれを施し、コhomological超対称性代数を得る。
• 局在法を実装するため、作用に$\delta$-正確項$-t S_{\text{loc}}$を加える。ここで$S_{\text{loc}} = \delta(\int \mathcal{V})$である。
• 局在の臨界点を、$S_{\text{loc}} = 0$を満たす解、つまり$V^2 \neq 0$を満たす古典的配置の集合として特定する。
• 古典的、1ループ、インスタントン項に分けて分配関数を計算し、インスタントンは$V^2 = 0$の固定点に局在化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーリックケーラー多様体上での$\mathcal{N}=2$ゲージ理論の超対称的分配関数の構造は何か？
• RQ2 等平台上のねじれが局在法手順と得られる分配関数に与える影響は何か？
• RQ3 この設定で1ループ行列式が自明である理由は何か？これは理論にどのような意味を持つのか？
• RQ4 全分配関数は$U(1)$作用の固定点からの寄与に分解可能か？
• RQ5 各固定点における$\Omega$-背景に類似した項への分解の物理的意義は何か？

主な発見

• トーリックケーラー多様体上での$\mathcal{N}=2$ゲージ理論の1ループ行列式は自明である。
• 古典的作用は、$V^2 = 0$である固定点に対応する$\Omega$-背景パラメータで評価される3つの項の和として書ける。
• インスタントン寄与は、$U(1)$作用の固定点にのみ局在化し、それぞれがネクラソフインスタントン分配関数に類似した形を取る。
• 全分配関数は、各固定点の$\Omega$-背景パラメータで評価された関数の積に分解され、深い幾何的または代数的起源を示唆している。
• 古典的、1ループ、インスタントン寄与すべてが、1ループ項が恒等的に1であることを除き、分解構造を示す。
• 5次元の$\mathcal{N}=1$理論がササキアン多様体上で定義される場合との類似性から、双対性や次元削減の可能性が示唆されるが、正確な関係はまだ明確でない。