[論文レビュー] Path-Dependent Optimal Stochastic Control and Viscosity Solution of Associated Bellman Equations

Shanjian Tang, Fu Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 31被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、経路に依存する動的および再帰的コスト関数を伴う確率的最適制御問題から生じる経路に依存する完全非線形2階偏微分方程式（PDE）の粘性解理論を確立する。著者らは、α ∈ (0, 1/2) におけるα Hölder連続経路に制限された、新たな粘性解の概念を導入し、Dupireの関数的 Itô微積分を活用することで、価値関数が関連する経路に依存するBellman方程式の唯一の粘性解であることを証明する。

ABSTRACT

In this paper we study the optimal stochastic control problem for a path-dependent stochastic system under a recursive path-dependent cost functional, whose associated Bellman equation from dynamic programming principle is a path-dependent fully nonlinear partial differential equation of second order. A novel notion of viscosity solutions is introduced. Using Dupire's functional Itô calculus, we characterize the value functional of the optimal stochastic control problem as the unique viscosity solution to the associated path-dependent Bellman equation.

研究の動機と目的

• 経路に依存する完全非線形2階PDEの粘性解理論を、確率的制御の文脈で構築すること。
• 経路空間における局所コンパクト性の欠如と滑らかでない性質を克服するため、半ジェットをα ∈ (0, 1/2) におけるα Hölder連続経路に制限すること。
• 経路に依存する最適確率的制御問題の価値関数を、関連するBellman方程式の唯一の粘性解として特徴付けること。
• Hilbert空間や古典的滑らかさの仮定の制限を克服し、古典的粘性解理論を関数的 Itô微積分の枠組みに拡張すること。
• 遅延や経路に依存する係数を有する非マルコフ型最適制御問題を解くための厳密な基礎を提供すること。

提案手法

• α ∈ (0, 1/2) におけるα Hölder空間 C^α に半ジェットを制限することで、新たな粘性解の概念を導入し、局所コンパクト性を保ちつつ滑らかでない性質を管理する。
• Dupireの関数的 Itô微積分を用いて、動的計画法から経路に依存するBellman方程式を導出する。
• 関数的 Itôの公式を用いて価値関数と経路に依存するPDEを結びつけ、非マルコフ型系の解析を可能にする。
• 摂動論法と極限手続きを用いて、関数的設定における粘性解の比較定理および存在定理を確立する。
• 適切に構築されたテスト関数と価値関数の増分に関する推定を用いて、背理法により価値関数が唯一の粘性解であることを証明する。
• SDE解のα Hölder連続性（命題7.1）を活用し、経路の正則性を制御し、粘性解の枠組みを支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 経路空間が局所コンパクトでなく、上界ノルムが滑らかでない場合に、経路に依存する完全非線形PDEの粘性解はどのように定義可能か？
• RQ2 経路に依存する最適確率的制御問題の価値関数は、関連するBellman方程式の粘性解として特徴付けられるか？
• RQ3 Dupireの関数的 Itô微積分は、経路に依存するBellman方程式の定式化と解法において果たす役割は何か？
• RQ4 古典的粘性解理論は、正則性が限られた無限次元経路空間にどのように適合可能か？
• RQ5 経路に依存する確率的制御の文脈において、粘性解の存在および一意性を保証する条件は何か？

主な発見

• 経路に依存する最適確率的制御問題の価値関数は、関連する経路に依存するBellman方程式の唯一の粘性解である。
• α ∈ (0, 1/2) におけるα Hölder空間 C^α に半ジェットを制限することで、非コンパクト性と非滑らかさの問題を解消する新たな粘性解の概念が導入された。
• 一意性の証明は、摂動されたテスト関数と価値関数の増分に関する推定を用いた背理法に依存する。
• 著者らは、一様リプシッツ条件の下で、経路に依存するSDEの解のα Hölder連続性を確立し、大きなHölderノルムの確率が T^{(1/2−α)p}μ^{-p} のオーダーで減少することを示した。
• この枠組みにより、古典的粘性理論が遅延SDEや再帰的経路に依存するコスト関数を含む非マルコフ型設定へと拡張された。
• 結果として、動的計画法が、粘性解の意味で解ける well-defined な経路に依存するBellman方程式を導くことが確認された。