[論文レビュー] Pathwise uniqueness for singular SDEs driven by stable processes

Enrico Priola|Osaka City University (Osaka City University)|May 23, 2010

Stochastic processes and financial applicationsEconomics, Econometrics and Finance参考文献 15被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、有界で Hölder 継続的であり、$\beta > 1 - \alpha/2$ を満たす $\alpha \in [1,2)$ の非退化対称 $\alpha$-安定 Lévy プロセスによって駆動される多次元確率微分方程式（SDE）のパスワイズ一意性を確立する。証明は、関連するコルモゴロフ型積分微分作用素に対する新規のグローバル ショウダー推定式に依拠しており、強い解の存在を保証するとともに、初期条件に関する解の流れの微分可能性およびホメオモルフィズム性を確立する。

ABSTRACT

We prove pathwise uniqueness for stochastic differential equations driven by non-degenerate symmetric $α$-stable Lévy processes with values in $\R^d$ having a bounded and $β$-Hölder continuous drift term. We assume $β> 1 - \fracα{2} $ and $α\in [ 1, 2)$. The proof requires analytic regularity results for associated integro-differential operators of Kolmogorov type. We also study differentiability of solutions with respect to initial conditions and the homeomorphism property.

研究の動機と目的

• 非退化対称 $\alpha$-安定 Lévy プロセスによって駆動される SDE に対して、パスワイズ一意性を確立すること。ただし、ドリフト項は有界かつ $\beta$-Hölder 継続的である。
• 古典的パスワイズ一意性枠組みを伊藤＝ストラトニチッチ設定を超えて、非ガウス的安定ノイズを有する Lévy 駆動 SDE へと拡張すること。
• SDE に付随する $\alpha$-安定プロセスに起因するコルモゴロフ型積分微分作用素に関する解析的正則性結果を確立すること。
• ドリフト項に最小限の正則性しか与えない条件下で、初期条件に関する解の流れの微分可能性およびホメオモルフィズム性を確立すること。

提案手法

• $\mathcal{L}$ を $\alpha$-安定プロセスの生成作用素とするとき、$\mathbb{R}^d$ 上のリゾルベント方程式 $\lambda u - \mathcal{L}u - b \cdot Du = g$ に対してグローバル ショウダー推定式を導出する。ここで $g \in C_b^\beta(\mathbb{R}^d)$ である。
• イト＝タナカ型の議論を用いて、パスワイズ一意性をリゾルベント方程式の解の正則性に還元する。
• 補間および Hölder 継続性推定式を用いて、リゾルベント方程式におけるドリフト項の増分の差を制御する。
• 十分に大きな $\lambda$ に対して $\|Du_{\lambda}\|_0 < 1/3$ が成り立つことを示し、これによりパスワイズ一意性の証明における収縮議論を可能にする。
• 文献 [14] の確率的フローに関する結果を応用し、解写像 $x \mapsto X_t^x$ がほとんど確実に $C^1$-微分同相写像であることを導く。
• リゾルベント推定式の正則性を保証するため、$\alpha$-安定プロセスの非退化性および条件 $\alpha + \beta > 1$ に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称 $\alpha$-安定プロセスの指数 $\alpha$ とドリフト項 $b$ の条件は何か？ その条件下で、$X_t = x + \int_0^t b(X_s)ds + L_t$ の形をした SDE に対してパスワイズ一意性が成立するか？
• RQ2 $\alpha \in [1,2)$ の $\alpha$-安定 Lévy プロセスによって駆動されるコルモゴロフ型積分微分作用素に対して、ショウダー型推定式を確立できるか？
• RQ3 ドリフト項 $b$ が $\beta$-Hölder 継続的であり、$\beta > 1 - \alpha/2$ を満たすとき、解の流れ $x \mapsto X_t^x$ はほとんど確実に $C^1$-微分同相写像のままであるか？
• RQ4 初期条件に関する導関数 $D_x X_t^x$ の正則性は何か？ また、その導関数は確率積分表現を満たすか？

主な発見

• 非退化対称 $\alpha$-安定プロセス（$\alpha \in [1,2)$）によって駆動され、有界かつ $\beta$-Hölder 継続的であるドリフト項を有する SDE に対して、パスワイズ一意性が成立する。ただし、$\beta > 1 - \alpha/2$ を満たすものとする。
• 任意の $t \geq 0$ に対して、解写像 $x \mapsto X_t^x$ は $\mathbb{R}^d$ から自身へのホメオモルフィズムであることがほとんど確実に成立する。
• 任意の $t \geq 0$ および $p \geq 1$ に対して、解の差の本質的上限の $p$ 階モーメントは、$\mathbb{E}[\sup_{0\leq s\leq t}|X_s^x - X_s^y|^p] \leq C(t,p)|x-y|^p$ を満たす。ここで $C(t,p)$ は $\alpha$、$\beta$、およびプロセス $L$ に依存する。
• 解写像 $x \mapsto X_t^x$ はほとんど確実に $C^1$-微分可能であり、その導関数はドリフト項の導関数と Lévy ノイズを含む確率積分方程式を満たす。
• 証明は、条件 $\alpha + \beta > 1$ の下で確立されたリゾルベント方程式 $\lambda u - \mathcal{L}u - b \cdot Du = g$ に対するグローバル ショウダー推定式に依拠している。
• この結果は、マルコフ性とフロー合成則 $\xi_{s,t} = \xi_{u,t} \circ \xi_{s,u}$ を満たす確率的フロー $\xi_{s,t}(x)$ の存在を示唆する。