[論文レビュー] Penalized Barycenters in the Wasserstein Space

Jérémie Bigot, Elsa Cazelles+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2016

Risk and Portfolio Optimization参考文献 37被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$ \mathbb{R}^d$ における確率測度のためのWasserstein重心を正則化する凸罰則手法を導入し、存在性と一意性を保証するとともに、安定な推定を可能にする。また、経験的重心が母集団重心に収束することを確立し、データが離散的であるか、未知の分布からの標本である場合でも一貫した推定器を提供する。

ABSTRACT

In this paper, a regularization of Wasserstein barycenters for random measures supported on $\mathbb{R}^{d}$ is introduced via convex penalization. The existence and uniqueness of such barycenters is first proved for a large class of penalization functions. The Bregman divergence associated to the penalization term is then considered to obtain a stability result on penalized barycenters. This allows the comparison of data made of $n$ absolutely continuous probability measures, within the more realistic setting where one only has access to a dataset of random variables sampled from unknown distributions. The convergence of the penalized empirical barycenter of a set of $n$ iid random probability measures towards its population counterpart is finally analyzed. This approach is shown to be appropriate for the statistical analysis of either discrete or absolutely continuous random measures. It also allows to construct, from a set of discrete measures, consistent estimators of population Wasserstein barycenters that are absolutely continuous.

研究の動機と目的

• 確率測度のためのWasserstein重心における不安定性と一意性の欠如を解消すること。
• 一般の罰則関数に対して重心の存在性と一意性を保証する正則化フレームワークの構築。
• 測度が離散的であるか、未知の分布からの標本である場合でも、母集団重心の一致推定を可能にすること。
• 経験的重心が母集団レベルの対応物に理論的に収束することを確立すること。
• 罰則を用いて離散的入力測度から絶対連続推定器を構築すること。

提案手法

• 測度空間における凸罰則によるWasserstein重心の正則化。
• 罰則関数に関連するBregman散発を用いて安定性バインドを導出。
• 罰則付き重心をWasserstein空間内での最小化問題として定式化。
• $n$ 個のi.i.d. 確率測度から導かれる経験的重心の収束性の分析。
• 関数中心極限定理および弱収束技法を用いて漸近的挙動を確立。
• 離散的入力測度から罰則を用いて一貫性があり絶対連続な推定器を構築。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で罰則付きWasserstein重心が存在し、一意的であるか？
• RQ2 罰則項のBregman散発は重心の安定性にどのように影響するか？
• RQ3 データが未知の分布からの標本である場合、経験的重心が母集団重心を一貫して推定できるか？
• RQ4 離散的入力測度から絶対連続な重心推定器を構築することは可能か？
• RQ5 標本サイズが増加する際の罰則付き経験的重心の漸近的挙動は何か？

主な発見

• 罰則付き重心は、広範な凸罰則関数のクラスに対して存在し、一意的である。
• 罰則項に関連するBregman散発のおかげで、重心の安定性が保証される。
• 標本化された測度の数が増加するにつれて、経験的重心はほとんど確実に母集団重心に収束する。
• 入力測度が離散的であっても、母集団重心の一致推定器が得られる。
• 入力データが離散的であっても、得られる重心推定器は絶対連続である。
• 本手法は、$ \mathbb{R}^d$ における離散的および絶対連続な確率測度の両方に対して適用可能である。