[論文レビュー] Phase retrieval from very few measurements

Matthew Fickus, Dustin G. Mixon+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2013

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 29被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、複素信号のための 4M−4 測定アンサンブルを構築し、その測定が一意的（injective）に位相再構成可能であることを示した。これは、予想される最小サイズに達する最初の明示的構成である。さらに、実数の場合に M+1 個のほぼ一意的（almost injective）な測定から位相再構成を行うことは NP 困難であることを示し、効率的なアルゴリズムが理論的最小値を上回る測定の冗長性を必要とすることを示唆している。

ABSTRACT

In many applications, signals are measured according to a linear process, but the phases of these measurements are often unreliable or not available. To reconstruct the signal, one must perform a process known as phase retrieval. This paper focuses on completely determining signals with as few intensity measurements as possible, and on efficient phase retrieval algorithms from such measurements. For the case of complex M-dimensional signals, we construct a measurement ensemble of size 4M-4 which yields injective intensity measurements; this is conjectured to be the smallest such ensemble. For the case of real signals, we devise a theory of "almost" injective intensity measurements, and we characterize such ensembles. Later, we show that phase retrieval from M+1 almost injective intensity measurements is NP-hard, indicating that computationally efficient phase retrieval must come at the price of measurement redundancy.

研究の動機と目的

• 複素 M 次元信号のための 4M−4 の測定アンサンブルを明示的に構築し、その測定が一意的な強度測定を保証すること。
• 巡回群上の調和解析を用いて、このアンサンブルに対する効率的な位相再構成アルゴリズムを開発すること。
• 実数の場合の「ほぼ一意的（almost injective）」測定アンサンブルを特徴づけること。ここで、一意性はほとんどすべての信号に対して成り立つ。
• 実数の場合に最小測定数（M+1）を用いた位相再構成の計算複雑性を調査すること。
• 位相再構成における測定効率とアルゴリズムの実行可能性のトレードオフを特定すること。

提案手法

• 巡回群上の調和解析から導かれるモジュレートされた離散コサイン関数を用いて測定アンサンブルを構築する。
• 提案された再構成アルゴリズムがグローバル位相を除いて信号を正しく回復できることを示すことにより、一意性を証明する。
• 実数信号に対する「ほぼ一意的」強度測定の概念を導入し、ほとんどすべての信号に対して一意性が成り立つことを定義する。
• 十分条件として、M と N が互いに素である単位ノルムタイトフレームが、ほぼ一意性を保証することを示す。
• 部分和問題を M+1 測定からの位相再構成に還元し、実数の場合の NP 困難性を証明する。
• 極値の恒等式とフルスパークフレームの性質を用いて、最小限のデータから信号を再構成可能であることを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素信号のための 4M−4 の測定アンサンブルを明示的に構築可能であり、その測定が一意的な強度測定をもたらすか？
• RQ2 このような最小限の一意的アンサンブルからの信号再構成に効率的なアルゴリズムは存在するか？
• RQ3 実数の位相再構成設定において、「ほぼ一意的」性を保証する条件は何か？
• RQ4 実数の場合に M+1 個のほぼ一意的測定からの位相再構成は、多項式時間で実行可能か？
• RQ5 多項式時間での位相再構成に必要な最小の測定冗長性は何か？

主な発見

• 複素信号のための 4M−4 測定アンサンブルの明示的構成が提供され、その測定が一意的強度測定を達成している。
• 提案されたアルゴリズムは、巡回群上の調和解析を用いて、このアンサンブルからの信号再構成に成功している。
• 実数信号の場合、M と N が互いに素である単位ノルムタイトフレームを形成する測定アンサンブルは、ほぼ一意的性を保証する十分条件である。
• 実数の場合に M+1 個のほぼ一意的測定からの位相再構成は、部分和問題への還元により NP 困難であることが証明された。
• 結果から、効率的な位相再構成には、理論的最小値（複素信号では 4M−4、実数信号では M+1）を上回る測定の冗長性が必要であるという根本的なトレードオフがあることが示唆される。