[論文レビュー] Physical Realizability and Mean Square Performance of Translation Invariant Networks of Interacting Linear Quantum Stochastic Systems

Igor G. Vladimirov, Ian R. Petersen|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2014

Quantum optics and atomic interactions参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、1次元または多次元格子上における最近接相互作用を有する線形量子確率的系の並進不変ネットワークの物理的実現可能性条件を、行列代数的制約を用いて確立する。空間的フーリエ変換とグレナンドル＝ツェゴの定理を用いて、熱力学的極限におけるサイトごとの平均二乗性能関数を導出し、大規模な量子メタマテリアルや開放的量子調和振動子の解析を可能にする。

ABSTRACT

This paper is concerned with translation invariant networks of linear quantum stochastic systems with nearest neighbour interaction mediated by boson fields. The systems are associated with sites of a one-dimensional chain or a multidimensional lattice and are governed by coupled linear quantum stochastic differential equations (QSDEs). Such interconnections of open quantum systems are relevant, for example, to the phonon theory of crystalline solids, atom trapping in optical lattices and quantum metamaterials. In order to represent a large-scale open quantum harmonic oscillator, the coefficients of the coupled QSDEs must satisfy certain physical realizability conditions. These are established in the form of matrix algebraic equations for the parameters of an individual building block of the network and its interaction with the neighbours and external fields. We also discuss the computation of mean square performance functionals with block Toeplitz weighting matrices for such systems in the thermodynamic limit per site for unboundedly increasing fragments of the lattice.

研究の動機と目的

• 格子上における相互作用を有する大規模な線形量子確率的系ネットワークの物理的実現可能性条件を確立すること。
• 熱力学的極限におけるブロックトーペイリッツ重み行列を有する平均二乗性能関数を分析すること。
• 一様な量子ネットワークへのコherent量子線形二次ガウス制御理論の拡張すること。
• 量子メタマテリアルおよび量子ネットワークの分散型CQLQGコントローラーの設計を可能にすること。
• 周期的配列における開放的量子調和振動子のダイナミクスを、結合量子確率的微分方程式を用いて形式化すること。

提案手法

• 最近接相互作用を有する格子上における開放的量子調和振動子をモデル化するため、結合された線形量子確率的微分方程式（QSDE）を用いる。
• QSDEに空間的フーリエ変換を適用し、多次元格子におけるトーラスをパrameterとする空間周波数領域にシステムを変換する。
• ユニタリな時間発展下でも正準交換関係が保持されることを保証するため、物理的実現可能性の行列代数的条件を導出する。
• 並進不変性を反映するブロックトーペイリッツ重み行列を導入し、平均二乗性能関数を計算する。
• 円周的サンプリング定理およびグレナンドル＝ツェゴの極限定理を適用し、熱力学的極限における定常状態のサイトごとの性能を計算する。
• 有限な格子断片に周期的境界条件を適用することで無限系をモデル化し、スペクトル密度に基づく性能指標を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 格子上における並進不変ネットワークの線形量子確率的系の物理的実現可能性を保証する行列代数的条件は何か？
• RQ2 熱力学的極限において、ブロックトーペイリッツ重みを有する平均二乗性能関数をどのように計算できるか？
• RQ3 空間的フーリエ変換は、大規模量子ネットワークのダイナミクスおよび安定性を分析する上で果たす役割は何か？
• RQ4 システムの伝達関数のスペクトル特性は、熱力学的極限における性能とどのように関係するか？
• RQ5 無限に拡大する格子断片において、サイトごとの性能は格子サイズに依存せずに計算可能か？

主な発見

• 物理的実現可能性は、1つの構成ブロックとその最近接隣接相互作用のハミルトニアン、結合、散乱パラメータに関する行列代数的制約によって保証される。
• サイトごとの平均二乗性能関数は、トーラス上のスペクトル密度にグレナンドル＝ツェゴの極限定理を適用することで、熱力学的極限において有限値に収束する。
• 空間的フーリエ変換により、格子系は空間周波数でパrameter化された分離可能な系の族に簡略化され、周波数領域での解析が可能になる。
• 得られた性能指標は、大規模な断片において格子サイズに依存せず、熱力学的極限近似の有効性を裏付ける。
• スケーラブルな性能指標を提供するため、本手法により分散型CQLQGコントローラーの設計が可能になる。
• 導出された条件は多次元格子に一般化可能であり、境界条件が変更され、伝達関数行列が二変数トーラス上で定義される。