[論文レビュー] Local Hamiltonians in Quantum Computation

Daniel Nagaj|ArXiv.org|Aug 15, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 109被引用数 16

ひとこと要約

本学位論文は、量子計算における局所的ハミルトニアンを調査し、断熱的量子計算と量子計算複雑性の間の関係を確立する。本論文では、虚時間発展を用いた行列積状態（MPS）を用いた無限木系のシミュレーション手法を新たに提案し、新たな量子充足問題のQMA完全性を証明するとともに、単一の局所的で時間に依存しないハミルトニアンによる時間発展演算のみでユニバーサルな量子計算を実現するハミルトニアン型量子セルオートマトン（HQCA）を構築する。

ABSTRACT

In this thesis, I investigate aspects of local Hamiltonians in quantum computing. First, I focus on the Adiabatic Quantum Computing model, based on evolution with a time dependent Hamiltonian. I show that to succeed using AQC, the Hamiltonian involved must have local structure, which leads to a result about eigenvalue gaps from information theory. I also improve results about simulating quantum circuits with AQC. Second, I look at classically simulating time evolution with local Hamiltonians and finding their ground state properties. I give a numerical method for finding the ground state of translationally invariant Hamiltonians on an infinite tree. This method is based on imaginary time evolution within the Matrix Product State ansatz, and uses a new method for bringing the state back to the ansatz after each imaginary time step. I then use it to investigate the phase transition in the transverse field Ising model on the Bethe lattice. Third, I focus on locally constrained quantum problems Local Hamiltonian and Quantum Satisfiability and prove several new results about their complexity. Finally, I define a Hamiltonian Quantum Cellular Automaton, a continuous-time model of computation which doesn't require control during the computation process, only preparation of product initial states. I construct two of these, showing that time evolution with a simple, local, translationally invariant and time-independent Hamiltonian can be used to simulate quantum circuits.

研究の動機と目的

• 断熱的量子計算における局所的ハミルトニアンの役割と、固有値ギャップおよび計算的ユニバーサリティへの影響を理解すること。
• 行列積状態（MPS）と虚時間発展を用いて、無限木上の並進対称性を持つハミルトニアンの基底状態を数値的に求める手法を開発すること。
• 特に量子k-SATと局所的ハミルトニアン問題に注目し、局所的制約付き量子問題の計算複雑性を特徴づけ、新たなQMA完全性の結果を証明すること。
• 外部制御を一切用いずに、初期状態の準備と時間発展演算のみでユニバーサルな量子計算を実行可能なハミルトニアン型量子セルオートマトン（HQCA）を導入・構築すること。

提案手法

• 無限木上の並進対称性を持つハミルトニアンの基底状態の性質をシミュレートするために、行列積状態（MPS）のアプローチを用いた虚時間発展演算を用いる。
• 各虚時間ステップの後で、状態を再びMPS多様体に射影する新しい手順を導入し、アプローチの構造を保持する。
• この手法を用いて、ベーテラティス上の横磁場イジング模型における量子臨界現象を研究し、相関長や安定性を分析する。
• 量子回路をシミュレートするために、クチュリットを用いたクロック構成と3局所項を用いたQMA完全な3局所ハミルトニアンを構築する。
• 並進対称性があり、局所的で時間に依存しないハミルトニアンを用いた、セルサイズd=10およびd=20の2種類のハミルトニアン型量子セルオートマトン（HQCA）を設計する。
• このようなハミルトニアン下での時間発展演算が、動的制御を一切用いずにユニバーサルな量子回路をシミュレートできることを示し、計算的ユニバーサリティを達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 断熱的量子計算は、局所的ハミルトニアンのみを用いて普遍的にシミュレート可能か？ その場合、固有値ギャップにどのような制約が生じるか？
• RQ2 行列積状態（MPS）は、無限木上の並進対称性を持つハミルトニアンの基底状態を効果的にシミュレートするためにどのように用いることができるか？
• RQ3 量子k-SAT問題の計算複雑性は何か？ また、3局所項のみを用いても、新たなQMA完全な構成が可能か？
• RQ4 単一の局所的で時間に依存せず、並進対称性を持つハミルトニアンの時間発展演算のみで、ユニバーサルな量子計算を達成できるか？
• RQ5 ハミルトニアン型量子セルオートマトンが外部制御を一切用いずに量子回路をシミュレートできる条件は何か？

主な発見

• 断熱的量子計算モデルは局所的ハミルトニアンを必要とし、この構造から情報理論的境界として固有値ギャップの制約が導かれる。
• MPSと虚時間発展を用いた新しい数値的手法により、ベーテラティス上の横磁場イジング模型における相転移の正確な研究が可能になった。
• この手法により、ベーテラティス上の横磁場イジング模型における相関長が臨界点で発散することが判明し、これは2次相転移を示している。
• qubitを用いた3局所項のみを用いた新しいQMA完全な3局所ハミルトニアンが構築され、従来の4局所構成よりも改善された。
• クチュリットクロック構成を用いたQMA完全な3局所ハミルトニアンが実現され、制限された項を用いた量子k-SATが依然としてユニバーサルであることが示された。
• セルサイズd=10およびd=20の2つのハミルトニアン型量子セルオートマトンが構築され、単一の局所的で時間に依存せず、並進対称性を持つハミルトニアンの時間発展演算のみで、ユニバーサルな量子計算が達成可能であることが示された。