[論文レビュー] PI regulation control of a 1-D semilinear wave equation

Hugo Lhachemi, Christophe Prieur+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 44被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、右Neumann境界に由来する境界制御を用いて、1次元非線形波動方程式の左Neumannトレースに対して比例積分（PI）制御則を提案する。大部分のモードを安定化するための予備的速さフィードバックと、不安定モードのリース基底への軌道の射影を組み合わせることで、有限次元の拡張モデルを設計し、リャプノフ解析を用いて局所指数的安定性および設定値追従を証明する。

ABSTRACT

This paper is concerned with the Proportional Integral (PI) regulation control of the left Neu-mann trace of a one-dimensional semilinear wave equation. The control input is selected as the right Neumann trace. The control design goes as follows. First, a preliminary (classical) velocity feedback is applied in order to shift all but a finite number of the eivenvalues of the underlying unbounded operator into the open left half-plane. We then leverage on the projection of the system trajectories into an adequate Riesz basis to obtain a truncated model of the system capturing the remaining unstable modes. Local stability of the resulting closed-loop infinite-dimensional system composed of the semilinear wave equation, the preliminary velocity feedback, and the PI controller, is obtained through the study of an adequate Lyapunov function. Finally, an estimate assessing the set point tracking performance of the left Neumann trace is derived.

研究の動機と目的

• 1次元非線形波動方程式の左Neumannトレースを境界制御を用いて制御する課題に対処すること。
• 非有界制御作用素および非線形性を有する無限次元系へのPI制御設計を拡張すること。
• 不安定モードが存在する中で、左Neumannトレースの局所指数的安定性および設定値追従を保証すること。
• 無限次元系に適した体系的制御設計を構築すること。その際、速さフィードバック、リース基底射影、およびPI補償を統合する。

提案手法

• 非有界作用素のほとんどすべての固有値を開左半平面に移動させるために、予備的速さフィードバックを適用する。
• 非有界作用素の一般化固有構造からなるリース基底を用いて、システムの軌道を射影し、不安定モードの有限次元切断モデルを導出する。
• 切断モデルに積分素子を追加して、制御目的のPI制御器を構築する。
• リャプノフ関数を用いて、閉ループ無限次元系の局所指数的安定性を証明する。
• リャプノフ解析に基づき、左Neumannトレースの設定値追従性能に関する推定式を導出する。
• スペクトル解析および漸近的固有値展開を用いて、リース基底構造の妥当性とその基準基底からの摂動を正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非有界制御作用素を有する1次元非線形波動方程式のNeumannトレースを、PI制御で効果的に制御可能か？
• RQ2 非線形波動方程式の不安定モードは、リース基底から導かれる有限次元近似を用いてどのように捉え、安定化できるか？
• RQ3 非線形性および境界制御が存在する中で、どのような制御構造が局所安定性および設定値追従を両立させるか？
• RQ4 速さフィードバックとPI制御の組み合わせは、閉ループ系のスペクトル特性および安定性にどのように影響するか？

主な発見

• 提案された制御設計により、非線形波動方程式、速さフィードバック、およびPI制御器から成る閉ループ系の局所指数的安定性が保証される。
• リース基底射影により、不安定モードの高精度な有限次元近似が可能となり、制御器設計が容易になる。
• 左Neumannトレースの設定値追従性能に関する推定式が導出され、制御の正確さが定量的に評価可能となる。
• 閉ループ系の固有値が幾何的に単純であり、基準リース基底に対して2次的に近接していることが示され、スペクトル構造の頑健性が保証される。
• 実固有値の代数的重複度が奇数であることが証明され、安定性解析フレームワークの裏付けが得られる。