[論文レビュー] Poisson deformations of symplectic quotient singularities

Victor Ginzburg, D. Kaledin|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$V$ をシンプレクティックベクトル空間とし、$G \subset \mathrm{Sp}(V)$ を有限群とするとき、シンプレクティック商特異点 $V/G$ に対して、カロジェロ＝モーザー変形が普遍のポアソン変形をなすこと、すなわちすべての無限小ポアソン変形を捕捉することを確立する。また、コhomology環 $H^\bullet(X, \mathbb{C})$ が、群代数 $\mathbb{C}[G]$ の中心に自然なフィルトレーションを導入したときの関連する次数代数と同型であることを示す乗法的 McKay 対応を証明する。さらに、$D_n$、$E_n$、$F_4$、$G_2$ 型のワイル群に対しては、$G$ が $A$、$B$、$C$ 型でない限り、このようなシンプレクティック特異点の解消が存在しないことを示す。この結果は、ポアソン幾何学、表現論、代数幾何学の深い関係を示している。

ABSTRACT

We establish a connection between smooth symplectic resolutions and symplectic deformations of a (possibly singular) affine Poisson variety. In particular, let V be a finite-dimensional complex symplectic vector space and G\subset Sp(V) a finite subgroup. Our main result says that the so-called Calogero-Moser deformation of the orbifold V/G is, in an appropriate sense, a versal Poisson deformation. That enables us to determine the algebra structure on the rational cohomology H^*(X) of any smooth symplectic resolution X o V/G (multiplicative McKay correspondence). We prove further that if G is an irreducible Weyl group in GL(h) and V=h+ h^* then no smooth symplectic resolution of V/G exists unless G is of types A,B, or C.

研究の動機と目的

• シンプレクティック商特異点 $V/G$ とそのシンプレクティック解消の間の関係を、アフィンポアソン多様体のシンプレクティック変形と結びつけること。
• ポアソン変形の枠組みを用いて、任意の滑らかなシンプレクティック解消 $X \to V/G$ のコホモロジー環 $H^\bullet(X, \mathbb{C})$ の代数構造を特定すること。
• $G$ がワイル群である場合の $V/G$ のシンプレクティック解消の存在問題を解決し、$D_n$、$E_n$、$F_4$、$G_2$ 型に対しては、$G$ が $A$、$B$、$C$ 型でない限り解消が存在しないことを示すこと。
• コホモロジー $H^\bullet(X, \mathbb{C})$ が $\mathbb{C}[G]$ の中心のフィルトレーションによる次数代数 $\mathrm{gr}^F(\mathbb{Z}G)$ と同一視されることを証明する乗法的 McKay 対応を確立すること。

提案手法

• ポアソンコホモロジーを用いて、$V/G$ 上のポアソン構造の変形を分析し、特に $HP^2(V/G)$ を用いて無限小ポアソン変形を分類する。
• 商多様体の幾何と $G$ の作用を活用して、カロジェロ＝モーザー変形を $V/G$ の普遍ポアソン変形として構成する。
• $\mathrm{id} - g$ のランクによる群代数 $\mathbb{C}[G]$ 上のフィルトレーション $F_k(\mathbb{C}[G])$ を定義し、対応する次数代数 $\mathrm{gr}^F(\mathbb{Z}G)$ を導入する。
• グローバルなポアソン変形理論を応用し、$V/G$ の変形空間と解消 $X \to V/G$ のコホモロジーとの関係を、シンプレクティック解消が反自己的であることと、シンプレクティック形式が持ち上がることを用いて結びつける。
• ホッフシャイルドコホモロジーと Künneth 公式を用いて、$X$ のコホモロジーと $\mathrm{gr}^F(\mathbb{Z}G)$ の構造との関係を確立する。
• 次数代数の理論とエタール降下を活用して、$X$ 上の coherent sheaf の圏と関連する次数代数の間の同倣を、テンソル構造を保存する形で確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カロジェロ＝モーザー変形は、シンプレクティック商特異点 $V/G$ の普遍ポアソン変形であるか？
• RQ2 任意の滑らかなシンプレクティック解消 $X \to V/G$ のコホモロジー環 $H^\bullet(X, \mathbb{C})$ における代数構造は何か？
• RQ3 有限部分群 $G \subset \mathrm{Sp}(V)$ で、$V/G$ のシンプレクティック解消が存在するものはどれか？
• RQ4 $X$ のコホモロジーは、$G$ の表現論、特に $\mathbb{C}[G]$ の中心を用いて記述可能か？
• RQ5 乗法的 McKay 対応が成り立つのか、すなわち $H^\bullet(X, \mathbb{C})$ が $\mathrm{gr}^F(\mathbb{Z}G)$ と同一視されるか？

主な発見

• カロジェロ＝モーザー変形は、$V/G$ の普遍ポアソン変形を提供する。これは、特異点のすべての無限小ポアソン変形を捕捉できることを意味する。
• $V = \mathfrak{h} \otimes \mathbb{C}^2$ に作用するワイル群 $G$ に対して、$G$ が $A_n$、$B_n$、$C_n$ 型でない限り、滑らかなシンプレクティック解消は存在しない。
• 任意の滑らかなシンプレクティック解消 $X \to V/G$ のコホモロジー環 $H^\bullet(X, \mathbb{C})$ は、$\mathrm{gr}^F(\mathbb{Z}G)$、すなわち $\mathrm{id} - g$ のランクによる $\mathbb{C}[G]$ の中心のフィルトレーションに関する次数代数と、次数付き代数として同型である。これが乗法的 McKay 対応である。
• $X$ には奇数次の有理コホモロジーが存在せず、$H^{2k+1}(X, \mathbb{C}) = 0$（すべての $k \geq 0$ に対して）となる。これは、$\mathrm{gr}^F(\mathbb{Z}G)$ が偶数次元に集中していることによる。
• $H^i(X, \mathbb{C})$ の次元は、$\mathrm{gr}^F(\mathbb{Z}G)$ の $i$ 番目の次数成分の次元と等しくなる。これは、既知の次元等式を、より強い乗法的形で再確認するものである。
• $HP^1(V/G) = 0$ のとき、ポアソン微分のリー代数が $HP^2(V/G)$ 上に自明に作用する。この事実を用いて、カロジェロ＝モーザー変形の普遍性を確立する。