[論文レビュー] Positive energy representations of gauge groups I: Localization

Bas Janssens, Karl‐Hermann Neeb|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2021

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 59被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、主 bundle $\Xi \to M$ に関連するコンpaktoなゲージ群 $\Gamma_c(M,\operatorname{Ad}(\Xi))$ の射影的正エネルギー表現に対する局在定理を確立する。時空的生成子の錐に固定点が存在しない場合、このような表現は $M$ 内の1次元 $P$-不変部分多様体 $S \subseteq M$ から生じ、$M$ がコンパクトである場合には、アフィン Kac–Moody代数の最低重量表現による完全分類が得られる。

ABSTRACT

This is the first in a series of papers on projective positive energy representations of gauge groups. Let $Ξ ightarrow M$ be a principal fiber bundle, and let $Γ_{c}(M,\mathrm{Ad}(Ξ))$ be the group of compactly supported (local) gauge transformations. If $P$ is a group of `space-time symmetries' acting on $Ξ ightarrow M$, then a projective unitary representation of $Γ_{c}(M,\mathrm{Ad}(Ξ)) times P$ is of positive energy if every `timelike generator' $p_0 \in \mathfrak{p}$ gives rise to a Hamiltonian $H(p_0)$ whose spectrum is bounded from below. Our main result shows that in the absence of fixed points for the cone of timelike generators, the projective positive energy representations of the connected component $Γ_{c}(M,\mathrm{Ad}(Ξ))_0$ come from 1-dimensional $P$-orbits. For compact $M$ this yields a complete classification of the projective positive energy representations in terms of lowest weight representations of affine Kac-Moody algebras. For noncompact $M$, it yields a classification under further restrictions on the space of ground states. In the second part of this series we consider larger groups of gauge transformations, which contain also global transformations. The present results are used to localize the positive energy representations at (conformal) infinity.

研究の動機と目的

• 内部対称性と時空対称性を統合することで、無限次元ゲージ群への Wigner–Mackey の正エネルギー表現分類を拡張すること。
• 主 bundle $\Xi \to M$ 上で時空対称性を果たす群 $P$ が作用する $\Gamma_c(M,\operatorname{Ad}(\Xi)) \rtimes P$ の射影的ユニタリ正エネルギー表現を分類すること。
• 多様体 $M$ 上の表現を、1次元 $P$-不変部分多様体 $S \subseteq M$ 上の表現に還元する局在化機構を確立すること。
• 基底多様体 $M$ がコンパクトである場合、このような表現の完全分類をアフィン Kac–Moody代数の最低重量表現の観点から与えること。
• 第II部に向け、全空間ゲージ変換およびそのコンフォーマル無限遠点における局在化への基礎を築くこと。

提案手法

• 時空対称性群 $P$ が、そのリー代数 $\mathfrak{p}$ に時空的生成子の錐 $\mathscr{C} \subseteq \mathfrak{p}$ を持つ、半直積 $\Gamma_c(M,\operatorname{Ad}(\Xi)) \rtimes P$ の射影的ユニタリ表現を分析する。
• 正エネルギーの概念を適用し、各 $p_0 \in \mathscr{C}$ に対応するハミルトニアン $H(p_0)$ のスペクトルが下から有界であることを要請する。
• リー代数の技法を用いて問題を局所ゲージ代数とその中心拡大の研究に還元し、特にねじれループ代数に注目する。
• ソボレフ–リー代数構造と連続拡張定理を用いて、滑らかさからソボレフ空間への表現の拡張を行う。
• リー代数レベルでの局在定理を適用し、$\Gamma_c(M,\operatorname{Ad}(\Xi))_0$ の正エネルギー表現が1次元 $P$-軌道上の表現に因数分解することを示す。
• ${\widetilde{\mathrm{SL}}}(2,\mathbb{R})$ 内の1パラメータ部分群のエルゴディシティ性質を用いて、真空状態が全群作用で不変であることを証明し、分類を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\Gamma_c(M,\operatorname{Ad}(\Xi))_0$ の射影的正エネルギー表現が、いつ1次元 $P$-不変部分多様体に局在化するか。
• RQ2 基底多様体 $M$ がコンパクトである場合、ゲージ群の正エネルギー表現をどのように分類できるか。
• RQ3 中心拡大とソボレフ空間は、正エネルギー表現の連続的拡張にどのように寄与するか。
• RQ4 時空的生成子の錐に固定点が存在しないことは、正エネルギー表現の構造にどのように影響するか。
• RQ5 真空表現と ${\widetilde{\mathrm{SL}}}(2,\mathbb{R})$ 内の1パラメータ部分群のエルゴディシティ性質との関係は何か。

主な発見

• 局在定理により、$\Gamma_c(M,\operatorname{Ad}(\Xi))_0$ の任意の射影的正エネルギー表現が、$M$ 内の1次元 $P$-不変部分多様体 $S \subseteq M$ から生じることが保証される。
• $M$ がコンパクトである場合、射影的正エネルギー表現の分類は完全であり、アフィン Kac–Moody代数の最低重量表現と同値である。
• 表現はソボレフ空間へ連続に拡張可能であり、ボックス多様体構造と整合的で滑らかさを保つ。
• 真空状態 $\Omega$ が任意の1パラメータ部分群 $\widetilde{x}(t)$ や $\widetilde{h}(t)$ で不変であれば、${\widetilde{\mathrm{SL}}}(2,\mathbb{R})$ 全体で不変であることが示され、完全不変性が保証される。
• 連続拡張定理により、表現写像 $\varphi = \Phi_3 \circ \Phi_2 \circ \Phi_1$ の滑らかさは、$\Phi_1$ の滑らかさ、$\Phi_2$ の連続性、$\Phi_3$ の正則性から導かれる。
• 非コンパクトな $M$ に対しては、基底状態空間に追加の制約を課すことで分類が得られ、コンパクトな場合と比較して構造がより制限的であることが示された。