[論文レビュー] Positive Polynomials and Projections of Spectrahedra

João Gouveia, Tim Netzer|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2009

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、基本的閉半代数的集合でない場合を含む、スぺクトラヒドロンの射影に対して、正の多項式を特徴付ける2次モジュール構造を導入することにより、スぺクトラヒドロンの射影に関するポジティブステルンサッツを確立する。この研究では、スぺクトラヒドロンの射影の閉包が再びスぺクトラヒドロンの射影であることを証明し、非露出面に関する未解決問題を解決するとともに、曲線の凸包と多項式写像の像を統一的に扱うフレームワークを提供する。

ABSTRACT

This work is concerned with different aspects of spectrahedra and their projections, sets that are important in semidefinite optimization. We prove results on the limitations of so called Lasserre and theta body relaxation methods for semialgebraic sets and varieties. As a special case we obtain the main result of the paper "Exposed faces of semidefinite representable sets" of Netzer, Plaumann and Schweighofer. We also solve the open problems from that work. We further prove some helpful facts which can not be found in the existing literature, for example that the closure of a projection of a spectrahedron is again such a projection. We give a unified account of several results on convex hulls of curves and images of polynomial maps. We finally prove a Positivstellensatz for projections of spectrahedra, which exceeds the known results that only work for basic closed semialgebraic sets.

研究の動機と目的

• スぺクトラヒドロンの射影を代数的正性証明によって特徴付けること。これは、既知の結果を基本的閉半代数的集合を超えて拡張することを目的とする。
• スぺクトラヒドロンの射影に関する非露出面に関する先行研究における未解決問題を解決すること。
• スぺクトラヒドロンの射影の基礎的性質を確立すること。特に、閉包に関する不変性を含む。
• 曲線の凸包と多項式写像の像に関する結果を統一・一般化すること。
• 多項式最適化におけるラッセールとシータボディ近似法の構成的枠組みを提供すること。

提案手法

• 線形行列多項式 $\mathscr{A}$ から構成される、$\operatorname{QM}(\mathscr{A})_d$ と表記される2次モジュール構造を導入。これは制約付きの平方和を捕捉する。
• カラテオドリの定理を用いて、行列多項式をランク1項の有限和として表現し、有限次元近似を可能にする。
• 直交性条件 $B_i \circ M = 0$ で定義される線形部分空間との積集合を用いた線形写像によるスぺクトラヒドロンの射影を適用する。
• ${\operatorname{QM}(\mathscr{A})}_d$ が有限次元部分空間上に存在し、かつスぺクトラヒドロンの射影であることを確立する。
• リフト技術を用いる：$\widetilde{S} \subseteq \mathbb{R}^{n+m}$ であるスぺクトラヒドロンが $\overline{\operatorname{conv}(S)}$ に射影されることにより、正性証明の構築が可能になる。
• 有限次元近似と凸包を用いて、任意のスぺクトラヒドロンの射影の閉包が再びスぺクトラヒドロンの射影であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スぺクトラヒドロンの射影（基本的閉半代数的集合でない場合を含む）に対して、ポジティブステルンサッツを確立できるか？
• RQ2 一般の半代数的集合や多様体にラッセールおよびシータボディ近似法を適用する際の制限要因は何か？
• RQ3 スぺクトラヒドロンの射影の閉包は、再びスぺクトラヒドロンの射影であるか？
• RQ4 曲線の凸包や多項式写像の像は、スぺクトラヒドロンの射影として特徴付けられるか？
• RQ5 凸集合がスぺクトラヒドロンの射影であるための必要十分条件は何か？

主な発見

• スぺクトラヒドロンの射影の閉包が再びスぺクトラヒドロンの射影であることを証明し、凸代数的幾何学における基礎的問題を解決した。
• スぺクトラヒドロンの射影に対して、新たなポジティブステルンサッツを確立。すべてのそのような集合上で厳密に正である多項式が、平方和に加え、特定の行列多項式項の線形結合として表現可能であることを示した。
• 本稿は[17]における未解決問題を解決し、スぺクトラヒドロンの射影における非露出面の明示的例を構成した。
• 曲線の凸包と多項式写像の像に関する結果を統一的に扱い、これらがすべてスぺクトラヒドロンの射影であることを示した。
• 有限次元切断 $\operatorname{QM}(\mathscr{A})_d$ がスぺクトラヒドロンの射影であることが示され、有限次元最適化手法の適用が可能になった。
• 凸集合がスぺクトラヒドロンの射影であることと、ネストされた、有限次元で、スぺクトラヒドロンの射影と整合性を持つ2次モジュールが存在することの同値性を確立した。