[論文レビュー] Positivity and vanishing theorems for ample vector bundles

Kefeng Liu, Xiaofeng Sun+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 38被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、コンパクトなカラーシュマンフォールド上でのアンピールベクトルバンドルの対称冪をそのデターミナントバンドルでねじ込んだもの $S^kE \otimes \det E$ が、任意の $k \geq 0$ に対してネーカノ正性およびデュアルネーカノ正性を有することを確立している。曲率公式と正性の伝播を用いて、ドルベオールコホロロジーに対する新しい消滅定理を導出し、$H^{n,q}(X, S^kE \otimes \det E) = H^{q,n}(X, S^kE \otimes \det E) = 0$（$q \geq 1$）を証明した。さらに、グリフィス正性を持つバンドルおよび一般のねじれに関して、閾値 $k_0$ を用いて結果を拡張した。

ABSTRACT

In this paper, we study the Nakano-positivity and dual-Nakano-positivity of certain adjoint vector bundles associated to ample vector bundles. As applications, we get new vanishing theorems about ample vector bundles. For example, we prove that if $E$ is an ample vector bundle over a compact Kähler manifold $X$, $S^kE s \det E$ is both Nakano-positive and dual-Nakano-positive for any $k\geq 0$. Moreover, $H^{n,q}(X,S^kE s \det E)=H^{q,n}(X,S^kE s \det E)=0$ for any $q\geq 1$. In particular, if $(E,h)$ is a Griffiths-positive vector bundle, the naturally induced Hermitian vector bundle $(S^kE s \det E, S^kh s \det h)$ is both Nakano-positive and dual-Nakano-positive for any $k\geq 0$.

研究の動機と目的

• アンピールベクトルバンドルに関連するアドジョイントバンドルのネーカノ正性およびデュアルネーカノ正性を確立すること。
• 曲率の正性を用いて、コンパクトなカラーシュマンフォールド上のドルベオールコホロロジー群に対する新しい消滅定理を証明すること。
• 対称冪の正則ヒルベルト計量の存在を、アンピールまたはグリフィス正性を持つバンドルに関して調査すること。
• グリフィスの予想に対する証拠を提供すること。これは、元のバンドルがネーカノ正性を持たない場合でも、関連バンドルに正則計量を構成することで実現される。
• 閾値 $k_0$ を用いて、ネfラインバンドルや任意のベクトルバンドルによる一般のねじれに対しても正性結果を拡張すること。

提案手法

• ベクトルバンドル $E$ 上の基本ヒルベルト計量 $h$ から誘導される $S^kE$ のヒルベルト計量 $S^k h$ を用いて、対称冪 $S^kE$ の曲率公式を用いる。
• 曲率公式 $R_{i\bar j A \bar B} = \sum_{\alpha,\beta} \sum_{s,t} R_{i\bar j \alpha \bar \beta} \delta_{\alpha \alpha_s} \delta_{\beta \beta_t} \delta_{A_s B_t}$ を用いて、$S^kE$ の正性を分析する。
• 関連する二次形式 $\sum R_{i\bar j A \bar B} u_{iA} \overline{u}_{jB}$ が正定値であることを示すことにより、$S^kE \otimes \det E$ のネーカノ正性を証明する。
• グリフィス正性およびデュアルネーカノ正性が、対称テンソル冪および商構成によって保存されることを活用する。
• ネーカノ正性とデュアルネーカノ正性の双対性を用いて、$\partial\bar\partial$-補題および正性定理を応用し、コホロロジー的消滅結果を導出する。
• ベルンツィェンと他の研究者によるファイブレーションにおける正性に関する結果を応用し、特殊な場合における主要定理の正当性を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $E$ がアンピールであるとき、$S^kE \otimes \det E$ に対してネーカノ正性およびデュアルネーカノ正性を確立できるか？
• RQ2 $E$ にグリフィス正性を持つ計量が存在する場合、$S^kE \otimes \det E$ はネーカノ正性およびデュアルネーカノ正性を両方とも有するか？
• RQ3 $F$ がネfラインまたは任意のラインバンドルであるとき、どの $k$ に対して $S^kE \otimes F$ がネーカノ正性およびデュアルネーカノ正性を有するか？
• RQ4 $S^kE$ の正性を用いて、$H^{n,q}(X, S^kE \otimes \det E)$ の新しい消滅定理を導出できるか？
• RQ5 $E$ がネーカノ正性を持たないが $S^kE$ は正であるような反例（例：$T\mathbb{P}^n$ の場合）が存在するか？

主な発見

• コンパクトなカラーシュマンフォールド $X$ 上の任意のアンピールベクトルバンドル $E$ に対して、任意の $k \geq 0$ に対してバンドル $S^kE \otimes \det E$ はネーカノ正性およびデュアルネーカノ正性を両方とも有する。
• すべての $q \geq 1$ に対して、コホロロジー群 $H^{n,q}(X, S^kE \otimes \det E)$ および $H^{q,n}(X, S^kE \otimes \det E)$ は消える。
• $(E,h)$ がグリフィス正性を持つ場合、すべての $k \geq 0$ に対して $(S^kE, S^k h)$ はネーカノ正性およびデュアルネーカノ正性を両方とも有する。
• 任意のアンピール $E$ およびネfラインラインバンドル $F$ に対して、$k_0 = k_0(S,E)$ が存在し、すべての $k \geq k_0$ に対して $S^kE \otimes F$ はネーカノ正性およびデュアルネーカノ正性を両方とも有する。
• 任意のアンピール $E$ および任意のベクトルバンドル $F$ に対して、$k_0 = k_0(S,E,F)$ が存在し、すべての $k \geq k_0$ に対して $S^kE \otimes F$ はネーカノ正性およびデュアルネーカノ正性を両方とも有する。
• $T\mathbb{P}^n$ 上のフルビーニ・シュテュルム計量はネーカノ正性を持たないが、誘導計量を伴う $S^kT\mathbb{P}^n$ は $k \geq 2$ のときネーカノ正性およびデュアルネーカノ正性を両方とも有する。