[論文レビュー] Curvature of higher direct images and applications (Curvature of $R^{n-p}f_*\Omega^p_{X/S}(K_{X/S}^{\otimes m})$ and applications)

Georg Schumacher|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、正則に偏極された多様体の族に対して、直接像層 $ R^{n-p}f_*\Omega^p_{X/S}(K_{X/S}^{\otimes m}) $ の明示的な曲率公式を、グローバルな楕円型方程式と解体核の推定を用いて導出する。$ f_*K^{\otimes(m+1)}_{X/S} $ が明示的な下界を伴ってナカノ正であることを証明し、これにより正則に偏極された多様体のモジュライ空間の双曲的性の微分幾何的証明が可能になる。

ABSTRACT

Given an effectively parameterized family $f:X o S$ of canonically polarized manifolds, the K\"ahler-Einstein metrics on the fibers induce a hermitian metric on the relative canonical bundle $K_{X/S}$. We use a global elliptic equation to show that this metric is strictly positive everywhere and give estimates. The direct images $R^{n-p}f_*\Omega^p_{X/S}(K_{X/S}^{\otimes m})$, $m > 0$, carry induced natural hermitian metrics. We prove an explicit formula for the curvature tensor of these direct images with estimates, which implies Nakano-positivity for $p=n$. The Kodaira-Spencer map induces morphisms $S^p\mathcal T_S o R^p f_*\Lambda^p T_{X/S}$. For a suitable value of $p$ (and $\dim S=1$) a natural hermitian metric on $T_S$ of negative curvature is induced. A differential geometric proof for hyperbolicity properties of the moduli space follows.

研究の動機と目的

• 正則に偏極された多様体の族に関連する直接像層 $ R^{n-p}f_*\Omega^p_{X/S}(K_{X/S}^{\otimes m}) $ の明示的曲率公式を導出すること。
• 曲率推定を用いて、$ f_*K^{\otimes(m+1)}_{X/S} $ のナカノ正性を有効な下界とともに確立すること。
• 曲率の正性を用いて、特に $ M_{\text{can}} $ に対して、正則に偏極された多様体のモジュライ空間の双曲的性質に対する微分幾何的証明を提供すること。
• ウェイ・ペテルソン計量の曲率公式を高次の直接像へ一般化し、それをコーディア・スペンサー写像と調和形式に関連付けること。
• ナカノ正性の結果を、偏極されたリッチ平坦多様体の族へ拡張し、双曲的性およびモジュライ理論への応用を検討すること。

提案手法

• ファイバー上にケーラー＝アインシュタイン計量を用いて、相対正則バンドル $ K_{X/S} $ にヘルミート計量を誘導し、グローバルな楕円型方程式を用いて曲率を解析する。
• 複素ラプラシアン $ \Box $ の $ (0,n-p) $-形式上の解体核 $ (\Box + m)^{-1} $ を適用し、曲率成分を調和コーディア・スペンサー形式および調和 $ \Omega^p(K^{\otimes m}) $-値形式のカップ積の形で表現する。
• ファイバー上の積分を用いて、点ごとの $ L^2 $ 内積とそのカップ積を用いて曲率テンソルの公式を導出する。
• グリーン作用素 $ G_\partial $ と $ G_{\bar\partial} $ を用い、$ p+q = n $ を満たす $ (p,q) $-形式においてこれらが一致することを示し、固有関数展開を用いて $ (\Box - m)^{-1} $ の可逆性を扱う。
• チーバー＝ヨーの熱核推定を用いて、解体核 $ (\Box + m)^{-1} $ を有界化し、曲率成分の正定性を保証する。
• $(\Box + 1)^{-1}$ が厳密に正であること、および $ m > 0 $ のとき $ (\Box - m)^{-1} $ が存在して正であること——これはスペクトルギャップに起因する——に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則に偏極された多様体の族における直接像層 $ R^{n-p}f_*\Omega^p_{X/S}(K_{X/S}^{\otimes m}) $ の明示的曲率テンソル公式は何か？
• RQ2 曲率の推定を用いて、$ f_*K^{\otimes(m+1)}_{X/S} $ のナカノ正性を明示的な下界とともに確立するにはどうすればよいか？
• RQ3 楕円型偏微分方程式を用いて、一般化されたウェイ・ペテルソン計量の曲率を調和コーディア・スペンサー形式およびカップ積と関連づけることができるか？
• RQ4 曲率の正性が、正則に偏極された多様体のモジュライ空間 $ M_{\text{can}} $ の双曲的性を示唆するか？
• RQ5 解体核 $ (\Box + m)^{-1} $ は、$ (\Box - m)^{-1} $ のような負の項が存在する場合でも、曲率の正定性を制御するために果たす役割は何か？

主な発見

• 曲率テンソル $ R^{n-p}f_*\Omega^p_{X/S}(K_{X/S}^{\otimes m}) $ は、調和コーディア・スペンサー形式および $ \Omega^p(K^{\otimes m}) $-値形式のカップ積に $ (\Box + 1)^{-1} $、$ (\Box + m)^{-1} $、$ (\Box - m)^{-1} $ を作用させた三つの積分の和として与えられる。
• $ p = n $ の場合、$ (\Box - m)^{-1} $ 項は消え、$ f_*K^{\otimes(m+1)}_{X/S} $ はナカノ正であり、曲率が $ P_n(d(X_s)) \cdot \|A\|^2 \cdot \|\psi\|^2 $ で下から抑えられる。ここで $ P_n(d) > 0 $ は次元 $ n $ とファイバー直径 $ d $ の明示的関数である。
• 曲率 $ R^p f_*\Lambda^p T_{X/S} $ は、$ (\Box + 1)^{-1} $ と $ (\Box - 1)^{-1} $ を含む三つの積分で表現され、$ p = 1 $ のとき後者の項は消える。これにより古典的なウェイ・ペテルソン曲率公式が回復される。
• Yosidaの推定とチーバー＝ヨーの熱核推定を用いて、解体核 $ (\Box + m)^{-1} $ の正定性が確立され、家族が非等質でない限り曲率が厳密に正であることが保証される。
• 曲率推定 $ R(A, A, \psi, \psi) \geq P_n(d(X_s)) \cdot \|A\|^2 \cdot \|\psi\|^2 $ は、ファイバー次元と直径にのみ依存する一様な下界を与える。
• 本結果により、モジュライ空間の双曲的性に対する微分幾何的証明が得られる：任意の曲線 $ C $ 上の非等質な正則に偏極された多様体の族 $ X \to C $ に対して、$ g(C) > 1 $ が成り立つ。これはシャファレヴィッチの予想の一つのケースを確認する。