[論文レビュー] Positivity in convergence of the inverse $\sigma_{n-1}$-flow

Jian Xiao|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、LejmiとSzékelyhidiの予想の弱化版を、コンパクトなケーラー多様体上の逆 $σ_{n-1}$-フローの可解性に関して検証する。これは、全般的な数値的正則性条件の下で、$(n-1,n-1)$-形式 $ω^{n-1} - \frac{(n-1)!}{(n-1)!1!}\omega^{0}\wedge\alpha^{n-1}$ の点ごとの正則性を確立することによって達成される。主な結果は、コhomology類に厳密に正の代表元が存在することを確認し、ケーラー3-foldへと拡張され、移動的コホモロジー類の差が移動的コーンの内部に位置するための十分条件を提供する。

ABSTRACT

We study positivity in the conjecture proposed by Lejmi and Sz\\'{e}kelyhidi on finding effective necessary and sufficient conditions for solvability of the inverse $\\sigma_k$ equation, or equivalently, for convergence of the inverse $\\sigma_k$-flow. In particular, for the inverse $\\sigma_{n-1}$-flow we partially verify their conjecture by obtaining the desired positivity for $(n-1, n-1)$ cohomology classes. As an application, we also partially verify their conjecture for 3-folds.

研究の動機と目的

• 逆 $σ_k$-方程式（$k = n-1$）の可解性に関するLejmiとSzékelyhidiの予想の弱化形を検証すること。
• 全般的な数値的正則性条件の下で、逆 $σ_{n-1}$-フローに関連する $(n-1,n-1)$-形式の点ごとの正則性を確立すること。
• 既存の $k=1$ および $k=n-1$ の結果を用いて、ケーラー3-foldへの結果の拡張。
• 二つの移動的曲線類の差が移動的コーンの内部に位置するための十分条件を提供すること。

提案手法

• Boucksomが確立した、擬効果的$(1,1)$類の除法的Zariski分解を用いる。
• Xia（2014）およびLX（2016a）に由来する、移動的$(n-1,n-1)$類のMorse型バリオシティ基準を適用する。
• Popovici（2016）およびWang-Ning（2016）に由来する、逆Khovanskii-Teissier不等式の制限版を用いる。
• DK12およびSun16の結果を活用して、複素Monge-Ampère型方程式を用いて$(k+l)$-サブハーモニック代表元を構成する。
• コhomological還元を用いて、点ごとの不等式を複素トーラス上の交差数不等式に還元する。
• [Pop16]の手法を用いて、$(k+l)$-サブハーモニック形式を取り扱い、体積形式の不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての次元 $p$ の部分多様体（$k \leq p \leq n-1$）に対して数値的正則性条件が成り立つならば、逆 $\sigma_{n-1}$-フローにおける$(n-1,n-1)$-形式の点ごとの正則性が保証されるか？
• RQ2 一般のコンパクトケーラー多様体上で、$k = n-1$ の弱い予想は検証可能か？
• RQ3 適切な正則性仮定の下で、二つの移動的曲線類の差は移動的コーンの内部に位置するか？
• RQ4 $(k+l)$-サブハーモニック形式と体積形式の不等式を用いて、$(n-1,n-1)$-形式の正則性を確立できるか？
• RQ5 移動的コホモロジー類の文脈において、$(k+l)$-サブハーモニック形式に対して逆Khovanskii-Teissier不等式は成立するか？

主な発見

• 本稿は、条件(3)である全般的な数値的正則性の下で、コホモロジー類 $\{\omega^{n-1} - \frac{(n-1)!}{(n-1)!1!}\omega^{0}\wedge\alpha^{n-1}\}$ が滑らかで厳密に正の$(n-1,n-1)$-形式を含むことを証明し、$k=n-1$ における弱い予想を検証する。
• その結果、以前の $k=1$ および $k=n-1$ の結果を拡張し、ケーラー3-foldに対しては予想が完全に検証される。
• 移動的コーンの構造の洗練を用いて、二つの移動的曲線類の差が移動的コーンの内部に位置するための十分条件が確立される。
• 証明は、除法的Zariski分解と移動的$(n-1,n-1)$-類のMorse型バリオシティ基準に依存する。
• 適切な仮定の下で、$(k+l)$-サブハーモニック形式に対して制限された逆Khovanskii-Teissier不等式が成立し、体積形式の比較が可能になる。
• この手法により、点ごとの不等式がコホモロジー的および幾何的正則性の道具を用いて、複素トーラス上の交差数不等式に還元される。