[論文レビュー] Power maps in algebra and topology

Kathryn Hess|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ホッフホモロジー複体とコホッフホモロジー複体の両方を一般化する統一的な代数的枠組みとして、ねじれコチェーンのホッフホモロジー複体を導入する。チェーンホッフ代数に対して自然なべき写像を構成し、代数的構成が自由ループ空間上の位相的べき写像をモデル化することを示す。これは、位相的循環ホモロジーのチェーンモデルにおいて重要な代数的道具を提供する。

ABSTRACT

Given any twisting cochain t:C -->A, where C is a connected, coaugmented chain coalgebra and A is an augmented chain algebra over an arbitrary PID R, we construct a twisted extension of chain complexes A --> H(t) --> C. We show that both the well-known Hochschild complex of an associative algebra and the coHochschild complex of a coassociative coalgebra are special cases of H(t), which we therefore call the Hochschild complex of t. We explore the extent of the naturality of the Hochschild complex construction and apply the results of this exploration to determining conditions under which H(t) admits multiplicative or comultiplicative structure. In particular, we show that the Hochschild complex on a chain Hopf algebra always admits a natural comultiplication. Furthermore, when A is a chain Hopf algebra, we determine conditions under which H(t) admits an rth-power map extending the usual rth-power map on A and lifting the identity on C. As special cases, we obtain that both the Hochschild complex of any cocommutative Hopf algebra and the coHochschild complex of the normalized chain complex of a double suspension admit power maps. We show moreover that if K is a double suspension, then the power map on the coHochschild complex of the normalized chain complex of K is a model of the topological power map on the space of free loops on the realization of K, illustrating the topological relevance of our algebraic construction.

研究の動機と目的

• ねじれコチェーンを用いた一様な構成によって、ホッフホモロジー複体とコホッフホモロジー複体を統一すること。
• 古典的なループ空間上のr乗写像を拡張するホッフホモロジー複体上のべき写像を定義・研究すること。
• チェーンホッフ代数のホッフホモロジー複体が自然な乗法的または余乗法的構造をもつための条件を確立すること。
• X が二重サスペンションであるとき、その正規化チェーン複体のコホッフホモロジー複体が自由ループ空間 L(X) 上の位相的べき写像をモデル化することを示すこと。

提案手法

• C をコオーグメント付きコモノイド、A をPID R 上のオーグメント付き代数とする。ねじれコチェーン t:C→A から得られるチェーン複体のねじれ拡張として、H(t) を構成する。
• H(t) が代数のホッフホモロジー複体およびコモノイドのコホッフホモロジー複体の両方を一般化することを示す。
• A がチェーンホッフ代数であるとき、H(t) が自然に余乗法的構造をもつことを証明する。
• H(t) が A 上の標準的べき写像を拡張し、C 上の恒等写像を引き上げる r 乗写像をもつための十分条件を確立する。
• 単連結な二重サスペンション X に対して、自由ループ空間 L(X) 上の位相的べき写像をモデル化する、小さなチェーン複体 fls*(X) を定義し、その上に自己準同型 λ̃_r を導入する。
• 単体的およびホモトピー的構成を用いて、fls*(X) 上の代数的べき写像と自由ループ空間上の位相的べき写像との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ねじれコチェーンのホッフホモロジー複体が余乗法的構造をもつための条件は何か？
• RQ2 ホッフホモロジー複体が、基本代数上の古典的べき写像を拡張し、コモノイド上での恒等写像を引き上げる r 乗写像をもつための条件は何か？
• RQ3 ホッフホモロジー複体の代数的構成は、二重サスペンションの自由ループ空間上の位相的べき写像をどのようにモデル化できるか？
• RQ4 二重サスペンションの正規化チェーン複体のコホッフホモロジー複体と、その自由ループ空間上の位相的べき写像の関係は何か？
• RQ5 fls*(X) 上の代数的べき写像は、L(X) 上の位相的べき写像のチェーンモデルとしてどのような意味で成立するか？

主な発見

• A がチェーンホッフ代数であるとき、任意のねじれコチェーン t:C→A に対して、ホッフホモロジー複体 H(t) は自然な余乗法的構造をもつ。
• A がココメルテーション的チェーンホッフ代数であるとき、H(t) は A 上の標準的 r 乗写像を拡張し、C 上の恒等写像を引き上げる r 乗写像をもつ。
• X が単連結な二重サスペンションであるとき、X の正規化チェーン複体のコホッフホモロジー複体は、自由ループ空間 L(X) 上の位相的べき写像をモデル化する。
• 小さなチェーン複体 fls*(X) 上の自己準同型 λ̃_r は、L(X) 上の位相的 r 乗写像と同一のホモロジー写像を誘導する。すなわち、H*(λ̃_r) ≅ H*(λ_top^r) が成り立つ。
• この構成は、位相的循環ホモロジーのチェーンモデルを構築するために不可欠な、位相的べき写像のチェーンレベルモデルを提供する。
• fls*(X) 上のべき写像は、自由ループ空間のファイブレーション系列構造と整合的であり、位相的構成のホモトピー的文脈を保存する。