[論文レビュー] Preserving Distances in Very Faulty Graphs

Greg Bodwin, Fabrizio Grandoni+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 36被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、任意の固定されたエッジ故障数 $f \geq 1$ に対して、重みなしグラフにおける真正にサブ二次的サイズの単一ペア距離保持器を初めて提示する。$O(n^{2-g(f)})$ のサイズを達成し、$g(f)$ は正の単調減少関数である。サブ二次的サイズが可能となるのは加法的誤差 $\Omega(\varepsilon f)$ を伴う場合に限られることを示すタイトな境界を確立し、重み付きグラフに対しても上界と下界を一致させ、無向グラフにおいて $f \geq 2$ の場合に $\Theta(n^2)$、$f=1$ の場合に $\Theta(n)$ のサイズであることを証明する。

ABSTRACT

Preservers and additive spanners are sparse (hence cheap to store) subgraphs that preserve the distances between given pairs of nodes exactly or with some small additive error, respectively. Since real-world networks are prone to failures, it makes sense to study fault-tolerant versions of the above structures. This turns out to be a surprisingly difficult task. For every small but arbitrary set of edge or vertex failures, the preservers and spanners need to contain {\em replacement paths} around the faulted set. In this paper we make substantial progress on fault tolerant preservers and additive spanners: (1) We present the first truly sub-quadratic size single-pair preservers in unweighted (possibly directed) graphs for \emph{any} fixed number $f$ of faults. Our result indeed generalizes to the single-source case, and can be used to build new fault-tolerant additive spanners (for all pairs). (2) The size of the above single-pair preservers is $O(n^{2-g(f)})$ for some positive function $g$, and grows to $O(n^2)$ for increasing $f$. We show that this is necessary even in undirected unweighted graphs, and even if you allow for a small additive error: If you aim at size $O(n^{2-ε})$ for $ε>0$, then the additive error has to be $Ω(\eps f)$. This surprisingly matches known upper bounds in the literature. (3) For weighted graphs, we provide matching upper and lower bounds for the single pair case. Namely, the size of the preserver is $Θ(n^2)$ for $f\geq 2$ in both directed and undirected graphs, while for $f=1$ the size is $Θ(n)$ in undirected graphs. For directed graphs, we have a superlinear upper bound and a matching lower bound. Most of our lower bounds extend to the distance oracle setting, where rather than a subgraph we ask for any compact data structure.

研究の動機と目的

• $f \geq 3$ エッジ故障下での単一ペア距離保持器の最悪ケースサイズに関する長年の未解決問題を解消すること。
• 特に $f > 2$ の場合、従来非自明な境界が存在しなかった故障耐性スパニヤーおよび保持器の理解におけるギャップを埋めること。
• 重みなしおよび重み付きグラフの両方について、タイトな下界と上界を確立すること。特に $f \geq 3$ に対して非自明なサブ二次的構成を初めて得ること。
• サブ二次的保持器が非自明な加法的誤差を伴う場合にのみ可能であり、$O(n^{2-\varepsilon})$ サイズの場合は誤差が $\Omega(\varepsilon f)$ でタイトに抑えられることを示すこと。

提案手法

• 故障数 $f$ の単一ペア保持器を、故障数 $f$ の $n$ ペア保持器問題に変換する還元を、故障エッジの周囲の代替パスを活用して構築する。
• モジュラー構成を用い、ソース $s$ からターゲット $t$ へ至る経路 $Y$ を設け、中間ノードをベースグラフ $K$ に接続し、$K$ が $n$ ペア距離保持器問題を符号化するようにする。
• 下界を証明する際、任意の $1$-故障耐性 $s$-$t$ 保持器は $K$ 内のすべての最短経路を保持する必要があるため、$\Omega(\texttt{DP}(n))$ の辺を必要とすることを示す。
• $f \geq 2$ の場合、無向重みなしグラフにおける任意の $f$-FT $s$-$t$ 保持器のサイズは、加法的誤差が $\Omega(f)$ でない限り、任意の $\varepsilon > 0$ に対して $\Omega(n^{2-\varepsilon})$ であることを示す。
• 新しい構成により上界を導出し、$O(fmn)$ 時間で $f$-FT 保持器を計算する。この構成は単一ソースおよびすべてのペア設定へ一般化可能である。
• 故障数 $f$ の代替パスを保持するには、$f$-故障回避構造を経由する経路を保持する必要があり、そのようなパスの数を組合せ的議論により上限付けること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重みなしグラフにおいて、$f \geq 3$ エッジ故障下での単一ペア距離保持器の最悪ケースサイズは何か？
• RQ2 サブ二次的サイズの $f$-故障耐性保持器が $f \geq 3$ の場合に存在可能か？ その場合、加法的誤差とのトレードオフは何か？
• RQ3 重み付きグラフにおける $f$-故障耐性距離保持器のタイトな境界は何か？特に $f=1$ および $f \geq 2$ の場合。
• RQ4 重みなしグラフにおいて、$f \geq 2$ の場合に $f$-FT 加法的スパニヤーに超線形下界が存在するか？ たとえ小さな加法的誤差であっても。
• RQ5 $f \geq 3$ の場合に、$f$-FT 単一ソース保持器サイズが $\Omega(n^{2-1/(f+1)})$ で下界付けられるか、という予想は正しいか？

主な発見

• 重みなしグラフにおいて、任意の固定された $f \geq 1$ に対して、$g(f)$ を正の単調減少関数として、$O(n^{2-g(f)})$ サイズの $f$-故障耐性単一ペア保持器を構築可能である。
• 重みなしグラフにおいて、任意の $f$-FT $s$-$t$ 保持器が $O(n^{2-\varepsilon})$ サイズである場合、加法的誤差は $\Omega(\varepsilon f)$ でなければならない。この境界はタイトである。
• 重み付きグラフにおいて、$1$-FT $s$-$t$ 保持器のサイズは、無向グラフでは $\Theta(n)$、有向グラフでは $\Theta(\texttt{DP}(n))$ であり、ここで $\texttt{DP}(n)$ は $n$-ペア保持器のスパarsity を表す。
• $f \geq 2$ の場合、重み付きグラフにおける $f$-FT $s$-$t$ 保持器のサイズは、無向グラフであっても $\Theta(n^2)$ である。これは $f=1$ における明確な閾値を示している。
• 本稿では、$\Omega(n^{2-\varepsilon})$ サイズの保持器は $\Omega(\varepsilon f)$ の加法的誤差を必要とすることを証明し、既存の文献における上界と一致する。
• 下界は距離オラクルに対しても拡張可能であり、加法的誤差が $o(f)$ である場合、$f$-FT 距離のためのコンactデータ構造も $\Omega(n^{2-\varepsilon})$ サイズを必要とすることが示された。