[論文レビュー] Pricing American options using martingale bases

Jérôme Lelong|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一様に平方可積分なマルティンググールの空間を近似するためにウィーナークラウド展開を用いる、アメリカン・オプションの価格設定のための新規な二重法を提案する。これにより、サンプル平均近似を用いて、効率的かつスケーラブルでパス依存型のオプション評価が可能になる。この手法は、512コアで1時間を超える計算時間を11秒未塔に短縮するなど、高い性能と並列スケーラビリティを達成しており、40資産オプションを3%の相対誤差内で3分未塔で正確に価格設定できる。

ABSTRACT

In this work, we propose an algorithm to price American options by directly solving the dual minimization problem introduced by Rogers. Our approach relies on approximating the set of uniformly square integrable martingales by a finite dimensional Wiener chaos expansion. Then, we use a sample average approximation technique to efficiently solve the optimization problem. Unlike all the regression based methods, our method can transparently deal with path dependent options without extra computations and a parallel implementation writes easily with very little communication and no centralized work. We test our approach on several multi--dimensional options with up to 40 assets and show the impressive scalability of the parallel implementation.

研究の動機と目的

• 次元の呪いを回避し、回帰に基づく制限を避ける二重ベースのアルゴリズムを、アメリカン・オプションの価格設定に開発すること。
• 追加の計算コストを伴わずに、パス依存型オプションを明確に取り扱えるようにすること。
• 高次元問題における並列コンピューティング環境での高いスケーラビリティを達成すること。
• 二重問題のための有限次元的で凸的かつ微分可能な最適化フレームワークを提供すること。
• 本手法の効率性と正確性を、最大40次元のマルチ・アセット・パス依存型オプションに対して実証すること。

提案手法

• 一様に平方可積分なマルティングルの空間を、切断されたウィーナークラウド展開を用いて近似する。これにより最適化が正則化され、条件付き期待値の正確な計算が可能になる。
• 二重最適化問題を、ウィーナークラウド展開の係数に関する有限次元的で凸的かつ微分可能な問題に再定式化する。
• モンテカルロサンプリングを用いて、最適化問題を効率的に解くために、サンプル平均近似（SAA）技術を採用する。
• アルゴリズムは純粋なMPI環境で実装されており、通信量を最小限に抑え、中央集権的ボトルネックが存在しない細粒度の並列処理を実現する。
• ウィーナークラウド展開が条件付き期待値の正確な計算を可能にすることを活用し、回帰近似を回避する。
• 本手法は、最大40個の基礎資産を有する幾何的バスケット・プット・オプション、さまざまなボラティリティと相関係数を想定してテストされた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元的マルティングル近似を用いて、高次元問題におけるスケーラブルで効率的なアメリカン・オプションの二重法が可能になるか。
• RQ2 ウィーナークラウド展開の使用が、二重最適化問題の条件数と実装可能性をどのように改善するか。
• RQ3 計算コストの増加なしに、複雑なパス依存型ペイオフをどの程度まで処理できるか。
• RQ4 数千のCPUコアにわたる並列実装の、高次元オプションにおけるスケーラビリティはいかが。
• RQ5 SAAにおけるサンプル数が、特に高次元設定下で収束性と正確性に与える影響は。

主な発見

• 40資産の幾何的バスケット・プット・オプションを、3%の相対誤差で3分未塔で価格設定でき、高次元問題における優れた性能を示した。
• 190ノードのスーパーコンピュータ（3204コア）上で、512コアを用いて計算時間を4365秒（1時間13分）から10.7秒に短縮し、59%の効率を達成した。
• 128コアを用いた場合、実行時間は52秒に短縮され、73%の効率を達成しており、優れたスケーラビリティを示した。
• 10資産オプションに対しては、2次ウィーナークラウド近似が、数秒で正確な結果を得られ、従来の二重法を上回った。
• サンプル数がウィーナークラウド展開係数の数に比べて少なすぎる場合（例：d=40, p=2, m=40）、過学習が生じ、わずかに価格が低く評価される傾向が観察された。
• 本手法は、回帰ベースの手法とは異なり、追加の計算コストなしにパス依存型オプションを自然に処理できる。