[論文レビュー] Solving path dependent PDEs with LSTM networks and path signatures

Marc Sabate‐Vidales, David Šiška+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 40被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ファイナンスにおけるデリバティブの価格設定とヘッジ戦略に生じるパラメトリックな経路依存PDE（PPDE）を解くために、LSTMネットワークとパス・シグネチャーを組み合わせた新規な深層学習フレームワークを提案する。マルティンゲール表現定理を活用することで、不偏推定と信頼区間を実現し、ストークスティック・ボラティリティ・モデル下でのルックバック型およびオートカーリング・オプションの価格設定とヘッジ戦略において高い精度を達成した。

ABSTRACT

Using a combination of recurrent neural networks and signature methods from the rough paths theory we design efficient algorithms for solving parametric families of path dependent partial differential equations (PPDEs) that arise in pricing and hedging of path-dependent derivatives or from use of non-Markovian model, such as rough volatility models in Jacquier and Oumgari, 2019. The solutions of PPDEs are functions of time, a continuous path (the asset price history) and model parameters. As the domain of the solution is infinite dimensional many recently developed deep learning techniques for solving PDEs do not apply. Similarly as in Vidales et al. 2018, we identify the objective function used to learn the PPDE by using martingale representation theorem. As a result we can de-bias and provide confidence intervals for then neural network-based algorithm. We validate our algorithm using classical models for pricing lookback and auto-callable options and report errors for approximating both prices and hedging strategies.

研究の動機と目的

• 非マルコフ型ファイナンスモデル（例：粗いボラティリティ・モデル）に生じるパラメトリックな経路依存PDE（PPDE）を解くための効率的な深層学習アルゴリズムの開発。
• 無限次元の経路依存性の課題に対処するため、パス・シグネチャーとLSTMを用いて経路を有限次元表現に符号化する。
• モデルパラメータと経路履歴を含む、パラメータ空間全体で解を学習することで、迅速なモデルキャリブレーションを可能にする。
• デリバティブ価格設定におけるヘッジ戦略に対応する勾配 ∇ωF の高精度な近似を提供する。
• マルティンゲール表現定理を用いてニューラルネットワークの近似を不偏化し、事後的な信頼区間を提供する。

提案手法

• PPDEの解は、Feynman–Kacの公式を用いて確率的に表現され、学習のためのモンテカルロサンプリングが可能になる。
• パス・シグネチャーを用いて、連続的な経路 ω ∈ C([0,T]; ℝ^d) を有限次元のベクトルに符号化し、経路依存情報を効率的に捉える。
• LSTMネットワークを用いて経路の非予知的関数をモデル化し、資産価格履歴のシーケンスモデリングを可能にする。
• マルティンゲール表現定理を適用して、不偏化と信頼区間推定を可能にする損失関数を構築する。
• 2つの学習アルゴリズムを提案：条件付き期待値を用いる（アルゴリズム2）と、マルティンゲール表現を用いる（アルゴリズム3）ことで、分散制御を改善する。
• 本手法は、PPDEの解 F(t, ω; β) とその経路微分 ∇ωF を同時に学習し、金融応用におけるヘッジ戦略に対応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 LSTMネットワークとパス・シグネチャーを組み合わせることで、高次元の経路空間におけるパラメトリックな経路依存PDE（PPDE）の解を効果的に近似できるか？
• RQ2 マルティンゲール表現定理を活用して、深層学習ベースのPPDEソルバーにおける不偏化と信頼区間推定を可能にする学習目的関数を構築できるか？
• RQ3 本手法は、経路依存オプションの価格設定とヘッジ戦略において、フィードフォワードネットワークと比較して、精度と効率の点で優れているか？
• RQ4 本手法は、連続的なパrameter空間 β ∈ B にわたる解の学習によって、迅速なモデルキャリブレーションをどの程度可能にするか？
• RQ5 本手法は、ルックバック型やオートカーリング・オプションのような複雑なデリバティブのヘッジ戦略 ∇ωF を正確に回復できるか？

主な発見

• 幾何ブラウン運動下のルックバック・オプションにおいて、マルティンゲール表現とパス・シグネチャー入力を用いた場合、積分誤差は 6.47×10⁻³、ヘッジ誤差は 3.6×10⁻² を達成した。
• オートカーリング・オプションのヘストン・モデルにおいて、積分誤差は 1.4×10⁻²、ヘッジ誤差は 1.8×10⁻²、予測価格とモンテカルロ価格の間の相関係数は 0.948 を達成した。
• パス・シグネチャー入力を用いたLSTMベースのモデルは、フィードフォワードネットワークを上回る精度を示し、特に経路依存ダイナミクスとヘッジ感受性の捉え方において優れていた。
• マルティンゲール表現定理の活用により、不偏推定器と有効な信頼区間がニューラルネットワーク予測に対して構築された。
• フレームワークは、パラメトリックな解の全家族を学習し、異なるモデルパラメータにおける迅速なモデルキャリブレーションとリアルタイム価格設定を可能にした。
• 本手法は、異なるボラティリティ水準や、バリアやオート・カーリング機能を含む経路依存型のペイオフ構造に対しても、強固であることが示された。