[論文レビュー] Pricing American options via multi-level approximation methods

Denis Belomestny, Fabian Dickmann+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、モンテカルロシミュレーションを用いたアメリカンオプションおよびバミューディアンオプションの価格設定における計算複雑性を低減するためのマルチレベル近似法を導入する。異なる近似レベルにおける継続価値の階層的推定を活用することで、漸近的複雑性を 𝒪(ε⁻¹) にまで低下させ、従来の 𝒪(ε⁻³) に比例する方法に比べて著しく効率性を向上させる。

ABSTRACT

In this article we propose a novel approach to reduce the computational complexity of various approximation methods for pricing discrete time American options. Given a sequence of continuation values estimates corresponding to different levels of spatial approximation and time discretization, we propose a multi-level low biased estimate for the price of an American option. It turns out that the resulting complexity gain can be rather high and can even reach the order (\varepsilon^{-1}) with (\varepsilon) denoting the desired precision. The performance of the proposed multilevel algorithm is illustrated by a numerical example of pricing Bermudan max-call options.

研究の動機と目的

• 高次元設定において特に顕著な、既存のモンテカルロ法によるアメリカンおよびバミューディアンオプション価格設定の高い計算コストに対処すること。
• 望ましい精度 ε に対してスケーリングが著しく悪い標準的な近似アルゴリズムの非効率性を克服すること。
• 回帰ベースおよびメッシュ法を含む、さまざまな高速近似法に適用可能な汎用的な複雑性低減フレームワークを開発すること。
• 階層的継続価値推定に基づくマルチレベルモンテカルロアプローチにより、証明可能な複雑性低減を達成すること。
• ステージストリックメッシュ法を用いたバミューディアン・マックス・コールオプションに対する数値実験を通じて、手法の有効性を示すこと。

提案手法

• 空間的精度を段階的に向上させる継続価値近似の系列を構築し、各レベルが異なる近似度（例えば基底関数の数やトレーニングパス数）に対応するようにする。
• 連続するレベル間の継続価値推定値の差分を組み合わせることで、オプション価格のマルチレベル低バイアス推定器を定義する。
• 最適停止問題のパスワイズ単調性を活用し、推定器が下方から不偏であることを保証する。
• 連続するレベル間の相関を活用することで分散低減技術を適用し、サンプルあたりの総合的分散を削減する。
• 精度制約下でバイアスと分散のバランスを取るために、ラグランジュ乗数法を用いて計算リソースのレベル間割り当てを最適化する。
• 近似レベルにおける推定誤差および分散の減衰率を分析することで理論的複雑性バウンドを導出する。誤差が近似レベルに対して多項式的減衰を示すものと仮定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アメリカンオプション価格設定の高速近似法における計算複雑性は、標準的な 𝒪(ε⁻³) スケーリングを下回る可能性があるか？
• RQ2 階層的継続価値近似に基づくマルチレベルアプローチは、証明可能な改善された漸近的複雑性をもたらすか？
• RQ3 回帰、メッシュ、またはローカル回帰などの異なる近似スキームに、この手法を汎用的に適用可能か？
• RQ4 目標精度 ε を達成するために、計算リソースをレベル間で最適に割り当てる方法は何か？
• RQ5 現実のオプション価格設定問題において、標準的な単一レベルアプローチと比較して、この手法は数値的にどの程度の性能を示すか？

主な発見

• 提案されたマルチレベル手法により、継続価値近似にやや緩い正則性条件が課せられる条件下で、オプション価格設定の漸近的複雑性が 𝒪(ε⁻³) から 𝒪(ε⁻¹) に低下する。
• この複雑性の向上は、連続するレベル間の相関を活用し、差分のテレスコピック級数を用いて分散を低減することで達成される。
• 理論的分析により、マルチレベル推定器の分散が ε² に比例する速度で減衰することが示され、最小限の計算リソースで効率的なサンプリングが可能になる。
• 数値実験により理論的複雑性低減が確認され、ステージストリックメッシュ法を用いたバミューディアン・マックス・コールオプションの価格設定において顕著な高速化が達成された。
• 本手法は頑健で汎用的であり、グローバル回帰およびローカル回帰、ステージストリックメッシュ法を含む広範な近似技術に適用可能である。
• ラグランジュ乗数を用いてレベル間のサンプル割り当てが最適化され、理論的複雑性バウンドに到達するバイアスと分散のバランスの取れたトレードオフが実現された。