[論文レビュー] Pricing multi-asset derivatives by finite difference method on a quantum computer

Koichi Miyamoto, Kenji Kubo|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 49被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、量子線形方程式アルゴリズムを活用して、ブラック・ショールズ偏微分方程式（PDE）を解くことで、古典的FDM（有限差分法）に比べて指数的高速化を達成する量子アルゴリズムを提案する。この手法により、バリアオプションに代表される複雑な境界条件を有するオプションの高精度な価格設定が可能となり、高次元の資産空間における次元の呪いを克服する。

ABSTRACT

Following the recent great advance of quantum computing technology, there are growing interests in its applications to industries, including finance. In this paper, we focus on derivative pricing based on solving the Black-Scholes partial differential equation by finite difference method (FDM), which is a suitable approach for some types of derivatives but suffers from the {\it curse of dimensionality}, that is, exponential growth of complexity in the case of multiple underlying assets. We propose a quantum algorithm for FDM-based pricing of multi-asset derivative with exponential speedup with respect to dimensionality compared with classical algorithms. The proposed algorithm utilizes the quantum algorithm for solving differential equations, which is based on quantum linear system algorithms. Addressing the specific issue in derivative pricing, that is, extracting the derivative price for the present underlying asset prices from the output state of the quantum algorithm, we present the whole of the calculation process and estimate its complexity. We believe that the proposed method opens the new possibility of accurate and high-speed derivative pricing by quantum computers.

研究の動機と目的

• 多資産オプション価格設定における古典的FDMの次元の呪いに取り組む。これは、基礎資産数の増加に伴い指数関数的に複雑化するためである。
• 特に、ノックアウトバリアオプションのような連続的境界条件を有するレア・オプションの正確かつ効率的な価格設定を可能にする。モンテカルロ法は離散化の制約により、この分野で限界に直面する。
• 高次元の資産空間におけるブラック・ショールズPDEを解くために、量子線形方程式ソルバーとFDMを統合した量子アルゴリズムを開発する。
• 量子状態出力から現在の資産価格におけるオプション価格を実用的に抽出できることを保証する。これは、量子ファイナンス応用分野における主要な課題である。
• 状態準備、量子アンプリチュード推定、誤差制御を含む、完全な量子アルゴリズムの複雑度境界を確立する。

提案手法

• 多資産ブラック・ショールズPDEを、境界条件を伴う高次元時間依存PDEとして定式化し、構造的グリッド上で有限差分法（FDM）により離散化する。
• FDMの離散化を、解ベクトルがグリッド点におけるオプション価格に対応する、巨大なスパース線形系として表現する。
• 量子線形方程式ソルバー（QLSA）を適用し、基礎資産数dに対して古典的手法に比べて指数的高速化を達成する。
• 量子アンプリチュード推定（QAE）を用いて、量子状態から現在の資産価格におけるオプション価格を抽出し、高精度な出力を保証する。
• 初期ペイオフおよび境界条件を量子状態に符号化するための修正された量子状態準備手順を導入し、満期から現在への後退的解法を正しく実行可能にする。
• 精度パラメータ（ε₁, ε₂, εΨ）の精密な調整によりアルゴリズム誤差を制御し、最終出力誤差がε以内に抑えられることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子アルゴリズムは、複雑な境界条件を有する多資産オプションの価格設定において、古典的FDMに比べて指数的高速化を達成できるか？
• RQ2 PDEを解いた後の量子状態出力から、現在の基礎資産価格におけるオプション価格をどのように測定し抽出できるか？
• RQ3 状態準備、線形方程式ソルバ、アンプリチュード推定を含む、完全なFDMベースのオプション価格設定パイプラインの総合的量子複雑度は何か？
• RQ4 誤差パラメータ（ε₁, ε₂, εΨ）は、最終的なオプション価格推定の正確性にどのように影響を与えるか？
• RQ5 連続的境界条件を厳密に満たす能力により、本手法はモンテカルロ法に比べてバリアオプションのようなレア・オプションをより効果的に扱えるか？

主な発見

• 提案された量子アルゴリズムは、古典的FDMが次元の呪いにより指数的複雑度を示すのに対し、基礎資産数dに対して指数的高速化を達成する。
• アルゴリズムの総合的複雑度は、誤差εを達成するためのO(1/ε)であり、主に量子アンプリチュード推定と量子線形方程式ソルバのコストが支配的である。状態準備およびPDE離散化は、効率的に符号化可能である。
• 境界条件が連続的である（例：ノックアウトバリアオプション）場合、量子状態準備にそれらを埋め込むことで、古典的モンテカルロ法が正確に実装しにくい課題を効果的に処理する。
• 最終的なオプション価格は、誤差が有界な量子アンプリチュード推定により抽出され、出力ωが真の価格e⁻ʳᵀ·p·Ỹ(τ_ter)をO(ε)の誤差内で近似することが保証される（式(160)を参照）。
• アルゴリズムの複雑度はO(∥F∥/ε)で有界であり、∥F∥はPDE係数およびグリッドサイズに比例する。誤差制御は、複数の精度パラメータ（ε₁, ε₂, εΨ）を用いて厳密に分析されている。
• 理論的分析により、量子状態準備および解法プロセスがコherencyと正確性を維持することが確認され、正規化係数Zは、解の成長および減衰に関する仮定により有界であることが示された。