[論文レビュー] Pricing Financial Derivatives with Exponential Quantum Speedup

Javier Gonzalez-Conde, Ángel Rodríguez‐Rozas+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 37被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、10量子ビットと94個のエンタングルゲートを用い、古典的手法と同等の精度を達成するとともに60%を超える後選別成功確率を実現する、デジタル量子アルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、量子コンピュータ上でハミルトニアンシミュレーションを用いてヨーロピアンスタイルのオプションのブラック・ショールズ方程式を解くもので、非エルミート的ダイナミクスを1つのアーキテクチャ・キュービットを用いて拡大されたヒルバート空間に埋め込むことでユニタリティを保ち、2番目のアーキテクチャ・キュービットによって初期条件を周期的境界条件に変換することで、指数的高速化を達成する。

ABSTRACT

Pricing financial derivatives, in particular European-style options at different time-maturities and strikes, is a relevant financial problem. The dynamics describing the price of vanilla options when constant volatilities and interest rates are assumed, is governed by the Black-Scholes model, a linear parabolic partial differential equation with terminal value given by the pay-off of the option contract and no additional boundary conditions. Here, we present a digital quantum algorithm to solve Black-Scholes equation on a quantum computer for a wide range of relevant financial parameters by mapping it to the Schr\\"odinger equation. The non-Hermitian nature of the resulting Hamiltonian is solved by embedding the dynamics into an enlarged Hilbert space, which makes use of only one additional ancillary qubit. Moreover, we employ a second ancillary qubit to transform initial condition into periodic boundary conditions, which substantially improves the stability and performance of the protocol. This algorithm shows a feasible approach for pricing financial derivatives on a digital quantum computer based on Hamiltonian simulation, technique which differs from those based on Monte Carlo simulations to solve the stochastic counterpart of the Black Scholes equation. Our algorithm remarkably provides an exponential speedup since the terms in the Hamiltonian can be truncated by a polynomial number of interactions while keeping the error bounded. We report expected accuracy levels comparable to classical numerical algorithms by using 10 qubits and 94 entangling gates on a fault-tolerant quantum computer, and an expected success probability of the post-selection procedure due to the embedding protocol above 60\\%.

研究の動機と目的

• 古典的手法よりも指数的高速化を達成する金融デリバティブ価格設定のための量子アルゴリズムの開発。
• ハミルトニアンシミュレーションを用いて、非エルミート的であるにもかかわらず、量子コンピュータ上でブラック・ショールズ方程式を解く挑戦への対応。
• 補助キュービットを用いて初期条件を周期的境界条件に変換することで、数値的安定性と性能を向上。
• 誤りが有界で、高い成功確率を維持する故障耐性量子ハードウェアでの実装可能性を実現。

提案手法

• ブラック・ショールズ方程式がシュレーディンガー方程式に写像される。
• 非エルミート的ハミルトニアンは、ユニタリティを保つために1つのアーキテクチャ・キュービットを用いて拡大されたヒルバート空間に埋め込まれる。
• 2番目のアーキテクチャ・キュービットが初期条件を周期的境界条件に変換し、数値的安定性を向上させる。
• 多項式的に有界な相互作用数を用いたハミルトニアンシミュレーションが採用され、誤差制御が保証される。
• 量子プロトコルは、正しい計算部分空間への射影を実現するための後選別を用い、60%を超える成功確率を達成する。
• 故障耐性量子コンピュータを想定した設計であり、実用的精度を達成するには10量子ビットと94個のエンタングルゲートのみを必要とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非エルミート的性質を持つブラック・ショールズ方程式が、ハミルトニアンシミュレーションを用いて量子コンピュータ上で効率的に解けるか。
• RQ2 ブラック・ショールズPDEの非ユニタリーダイナミクスを、最小限のオーバーヘッドでユニタリ量子進化に埋め込む方法は何か。
• RQ3 初期条件を周期的境界条件に変換することが、量子アルゴリズムの安定性と精度に与える影響は何か。
• RQ4 金融デリバティブ価格設定において古典的手法と同等の精度を達成するために必要なリソース要件（量子ビット数、ゲート数、成功確率）は何か。
• RQ5 故障耐性環境下で、誤差が有界で高い成功確率を維持しながら、指数的高速化を達成できるか。

主な発見

• ハミルトニアン相互作用を多項式的数の項に切り詰めることで、誤差を有界に保ちつつ指数的高速化を達成する。
• 10量子ビットと94個のエンタングルゲートを用いることで、古典的数値手法と同等の期待される精度に到達する。
• 周期的境界条件を強制するために2番目のアーキテクチャ・キュービットを用いることで、量子シミュレーションの安定性と性能が顕著に向上する。
• 埋め込みプロトコルに基づく後選別手順により、成功確率が60%を超える。
• ハミルトニアンシミュレーションを用いた方法は、モンテカルロベースの量子的手法とは異なり、デジタル量子コンピュータ上で金融デリバティブを価格設定するための実用的でスケーラブルな手法を提供する。