[論文レビュー] Probability density function of SDEs with unbounded and path--dependent drift coefficient

Dai Taguchi, Akihiro Tanaka|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 58被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有界でないかつ経路に依存するドリフト係数をもつd次元SDEの解の確率密度関数（pdf）の存在、明示的表現、ガウス型上下界、およびホルダー連続性を確立する。著者らは、マリヤマ＝ギルサノフ変換と局所ノヴィコフ条件、およびパラメトリックス法を組み合わせることで鋭い境界を導出し、それらを用いてEuler-Maruyamaスキームの収束速度を証明し、無偏なシミュレーションスキームを構築する。

ABSTRACT

In this paper, we first prove that the existence of a solution of SDEs under the assumptions that the drift coefficient is of linear growth and path--dependent, and diffusion coefficient is bounded, uniformly elliptic and Hölder continuous. We apply Gaussian upper bound for a probability density function of a solution of SDE without drift coefficient and local Novikov condition, in order to use Maruyama--Girsanov transformation. The aim of this paper is to prove the existence with explicit representations (under linear/super--linear growth condition), Gaussian two--sided bound and Hölder continuity (under sub--linear growth condition) of a probability density function of a solution of SDEs with path--dependent drift coefficient. As an application of explicit representation, we provide the rate of convergence for an Euler--Maruyama (type) approximation, and an unbiased simulation scheme.

研究の動機と目的

• 有界でないおよび経路に依存するドリフト係数をもつSDEの解の確率密度関数（pdf）の存在と正則性を確立すること。
• ドリフトに線形および超線形成長条件が成り立つ場合のpdfの明示的表現を導出すること。
• ドリフトの増加が部分線形である条件の下で、pdfのガウス型上下界およびホルダー連続性を証明すること。
• 理論的結果を用いて、Euler-Maruyama型近似スキームの収束速度を分析すること。
• 導出されたpdfの性質を応用して、このようなSDEの解のための無偏なシミュレーションスキームを開発すること。

提案手法

• 経路に依存するドリフトをもつSDEを、新たな測度の下での拡散過程にマリヤマ＝ギルサノフ定理を用いて変換する。
• 有界でないドリフトのもとでギルサノフ変換の有効性を保証するため、局所ノヴィコフ条件を適用する。
• 基本解の構成とpdfの境界の導出にパラメトリックス法を用いる。
• ドリフトのない拡散過程の遷移密度に対するガウス型上界を基準測度として用いる。
• Fourier解析と特性関数の推定を用いて、特性関数の$L^2$ノルムを制御し、可積分性を保証することでpdfの存在を確立する。
• モーメント推定と拡散係数のホルダー連続性を組み合わせ、pdfの正則性特性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形または超線形成長条件のもとで、有界でないおよび経路に依存するドリフト係数をもつSDEに対して解が存在するか？
• RQ2 このような場合に、解の確率密度関数が明示的に表現可能か？
• RQ3 ドリフト係数の増加が部分線形である場合のpdfに対する鋭いガウス型上下界は何か？
• RQ4 ドリフト増加が部分線形である場合、pdfはホルダー連続か？
• RQ5 Euler-Maruyama型近似スキームの解の収束速度は何か？また、無偏なシミュレーションスキームを構築可能か？

主な発見

• ドリフト係数が線形成長および拡散係数が一様楕円的である条件のもとで、有界でないおよび経路に依存するドリフト係数をもつSDEの解が存在する。
• ドリフトに線形および超線形成長条件が成り立つ場合、pdfの明示的表現が得られる。
• ドリフト係数の増加が部分線形である条件のもとで、pdfに対してガウス型上下界が確立される。
• ドリフト増加が部分線形である場合、pdfがホルダー連続であることが示され、滑らかさの性質が保証される。
• モーメント推定および特性関数推定を用いて、Euler-Maruyama型近似スキームの収束速度が定量的に評価される。
• 導出されたpdfの性質および特性関数の境界に基づいて、無偏なシミュレーションスキームが構築される。