[論文レビュー] Property of Tsallis entropy and principle of entropy increase

Jiulin Du|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2008

Statistical Mechanics and Entropy被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非拡張統計力学におけるTsallisエントロピーの挙動を、異なる温度を持つ2つの系が熱平衡に達するのを分析することで調査している。合計Tsallisエントロピーが減少しないことを証明し、長距離相互作用や記憶効果を有する系に一般化されたエントロピー増加の法則を確立することで、第二法則熱力学を非拡張条件下に拡張している。

ABSTRACT

The property of Tsallis entropy is examined when considering tow systems with different temperatures to be in contact with each other and to reach the thermal equilibrium. It is verified that the total Tsallis entropy of the two systems cannot decrease after the contact of the systems. We derived an inequality for the change of Tsallis entropy in such an example, which leads to a generalization of the principle of entropy increase in the framework of nonextensive statistical mechanics.

研究の動機と目的

• 異なる温度にある2つの系が熱的接触に置かれたときのTsallisエントロピーの挙動を調べること。
• 結合系の合計Tsallisエントロピーが平衡化後に増加するか、あるいは一定のままかを検証すること。
• 非拡張統計力学の枠組み内で、古典的エントロピー増加の法則を一般化すること。
• 熱化過程におけるTsallisエントロピーの変化を記述する数学的不等式を導出すること。
• 非加法的エントロピーを有する系における熱力学第二法則の理論的基盤を確立すること。

提案手法

• 異なる温度を持つ2つの孤立系が熱的接触に置かれるのをモデル化する。
• 非拡張系におけるTsallisエントロピーの公式 S_q = (1 - Tr[ρ^q]) / (q - 1) を、q ≠ 1 の場合に適用する。
• 結合系の合計Tsallisエントロピーを、熱化の前後で計算する。
• 合計Tsallisエントロピーの変化を表す不等式を導出し、それが非負であることを示す。
• 導出は、Tsallisエントロピーの凹性および量子統計力学における密度行列の性質に依存する。
• 2007年におけるBulletin of the Astronomical Society of Indiaに発表された論文と整合性を確認するため、熱力学的整合性のチェックを実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 熱的接触にある2つの系の合計Tsallisエントロピーは増加するか、あるいは一定のままか？
• RQ2 Tsallisエントロピーで記述される非拡張系において、エントロピー増加の法則を一般化できるか？
• RQ3 熱化過程におけるTsallisエントロピーの変化を記述する数学的不等式は何か？
• RQ4 エントロピー指数 q は、非拡張系におけるエントロピー増加法則の有効性にどのように影響するか？
• RQ5 長距離相互作用や記憶効果を有する系において、Tsallisエントロピーを用いることで熱力学第二法則は保持されるか？

主な発見

• 熱的接触にある2つの系の合計Tsallisエントロピーは減少しないことが確認され、第二法則の一般化された形が裏付けられた。
• 熱化後のTsallisエントロピーの変化 ΔS_q ≥ 0 を示す不等式が導出された。
• q > 0 に対してTsallisエントロピーの凹性と熱平衡の仮定が成り立つ限り、この結果は有効である。
• 導出結果は、Tsallisエントロピーが非拡張系における有効な熱力学的測度であることを支持する。
• 本稿は、Tsallisエントロピーを用いる非拡張統計力学においても、エントロピー増加の法則が保持されることを確認した。
• 結果は、Bulletin of the Astronomical Society of India (2007) に掲載された学術論文と整合している。