[論文レビュー] PROPs for Linear Systems

Simon Wadsley, Nick Woods|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2015

semigroups and automata theory参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、可換rig R上の行列のPROP Mat(R)が、その自己準同型rigへのrig準同型を備えた双可換双モノイドの普遍圏であることを確立する。Rを変化させることで、例えばR=ℕ, ℤ, または ℬとすることで、主要なPROPsを特徴づける：FinSpan（双可換双モノイド）、FinRel（特別な双可換双モノイド）、Mat(ℤ)（双可換ホップモノイド）であり、BaezとErbeleの信号フローダイアグラムに関する結果を一般化する。

ABSTRACT

A PROP is a symmetric monoidal category whose objects are the nonnegative integers and whose tensor product on objects is addition. A morphism from $m$ to $n$ in a PROP can be visualized as a string diagram with $m$ input wires and $n$ output wires. For a field $k$, the PROP $\mathrm{FinVect}_k$ where morphisms are $k$-linear maps is used by Baez and Erbele to study signal-flow diagrams. We aim to generalize their result characterizing this PROP in terms of generators and relations by looking at the PROP $\mathrm{Mat}(R)$ of matrices of values in $R$, where $R$ is a commutative rig (that is, a generalization of a ring where the condition that each element has an additive inverse is relaxed). To this end, we show that the category of symmetric monoidal functors out of $\mathrm{Mat}(R)$ is equivalent to the category of bicommutative bimonoids equipped with a certain map of rigs; such functors are called algebras. By choosing $R$ correctly, we will see that the algebras of the PROP $\mathrm{FinSpan}$ of finite sets and spans between them are bicommutative bimonoids, while the algebras of the PROP $\mathrm{FinRel}$ of finite sets and relations between them are special bicommuative bimonoids and the algebras of $\mathrm{Mat}(\mathbb Z)$ are bicommutative Hopf monoids.

研究の動機と目的

• 信号フローダイアグラムの生成子と関係による特徴づけを、PROPsを用いたより広範な代数的枠組みへ一般化すること。
• 異なる代数的rig（例：ℕ, ℤ, ℬ）上の線形系のカテゴリカル構造を、行列圏に基づく単一の枠組みにより統一すること。
• Mat(R)から出る対称モノイダル関手の圏が、その自己準同型rigへのrig準同型を備えた双可換双モノイドの圏と同値であることを示すこと。
• 生成子と関係の提示に代わる、より効率的な関手的アプローチを用いて、線形系のPROPsを一様に特徴づける方法を提供すること。

提案手法

• Mat(R)を、可換rig Rの成分をもつn×m行列を射とするPROPと定義する。合成は行列乗法、テンソル積はブロック和として定義する。
• 対称モノイダル関手 Mat(R) → C と、Cにおける双可換双モノイドAおよびAの自己準同型rigへのrig準同型R → End(A)の間の同値関係を用いる。
• 特定のrigを適用する：ℕはFinSpanに対応、ℬはFinRelに対応、ℤはMat(ℤ)に対応し、対応する代数的構造を同定する。
• 双可換双モノイドにおける乗法と余乗法の分配法則を活用し、公理的特徴づけを導出する。
• ホップモノイドにおける反対元（antipode）を用いて、Mat(ℤ)がrig準同型で-1を反対元へ写すことで、双可換ホップモノイドを分類することを示す。
• 特別な双モノイドの公理（μ∘Δ = id）が、自己準同型rigにおける関係a+a=aに対応することを確認し、R=ℬのとき成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換rig Rに対して、PROP Mat(R)が分類する普遍的な代数的構造は何か？
• RQ2 Rを変化させること（例：ℕ, ℬ, ℤ）で、双モノイドの異なるクラス（例：特別、ホップ）がどのように得られるか？
• RQ3 生成子と関係による信号フローダイアグラムの特徴づけは、対称モノイダル関手を用いたより効率的な関手的アプローチに置き換え可能か？
• RQ4 rig準同型R → End(A)が、Mat(R)上の代数の分類において果たす役割は何か？
• RQ5 FinSpan, FinRel, Mat(ℤ)のPROPsは、Rの異なる選択によってMat(R)の特別な場合としてどのように現れるか？

主な発見

• Mat(R)は、自己準同型rigへのrig準同型を備えた双可換双モノイドAのPROPsであり、普遍的特徴づけを確立する。
• FinSpanは双可換双モノイドのPROPsであり、Mat(ℕ)が初期rig ℕを用いてこのような構造を分類することにより成立する。
• FinRelは特別な双可換双モノイドのPROPsであり、rig ℬを用いたMat(ℬ)に対応し、すべての自己準同型に対してa+a=aが成立する。
• Mat(ℤ)は双可換ホップモノイドのPROPsであり、-1の像が反対元として現れる。
• 本手法は、生成子と関係の提示に代わるより効率的な代替手段を提供する。例として、k=ℝ(s)に対するMat(k)のケースで、BaezとErbeleの結果を一般化する。
• 対称モノイダル関手 Mat(R) → C とR構造付き双可換双モノイドの間の同値関係により、類似構造のPROPsの直接比較が可能になる。