[論文レビュー] Quadrant Marked Mesh Patterns in 132-Avoiding Permutations II

Sergey Kitaev, Jeffrey B. Remmel+1 more|Strathprints: The University of Strathclyde institutional repository (University of Strathclyde)|Feb 9, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、132を避ける置換における4つのパラメータ（a,b,c,d）のうち、ちょうど2つが正であるような四分円マーク付きメッシュパターン（MMP）の研究を拡張し、明示的な漸化式および母関数を導出する。母関数の閉形式表現と、特にMMP(0,1,0,1)、MMP(0,2,0,1)、MMP(0,2,0,2)のようなパターンにおける係数の組合せ的解釈が提供される。主な結果として、母多項式における最高次の項および2番目に高い次の項の式が得られ、カタラン数およびペル数と関連づけられる。

ABSTRACT

Given a permutation $\sg = \sg_1...\sg_n$ in the symmetric group $S_n$, we say that $\sg_i$ matches the marked mesh pattern $MMP(a,b,c,d)$ in $\sg$ if there are at least $a$ points to the right of $\sg_i$ in $\sg$ which are greater than $\sg_i$, at least $b$ points to the left of $\sg_i$ in $\sg$ which are greater than $\sg_i$, at least $c$ points to the left of $\sg_i$ in $\sg$ which are smaller than $\sg_i$, and at least $d$ points to the right of $\sg_i$ in $\sg$ which are smaller than $\sg_i$. This paper is continuation of the systematic study of the distribution of quadrant marked mesh patterns in 132-avoiding permutations started in \cite{kitremtie} where we mainly studied the distribution of the number of matches of $MMP(a,b,c,d)$ in 132-avoiding permutations where exactly one of $a,b,c,d$ is greater than zero and the remaining elements are zero. In this paper, we study the distribution of the number of matches of $MMP(a,b,c,d)$ in 132-avoiding permutations where exactly two of $a,b,c,d$ are greater than zero and the remaining elements are zero. We provide explicit recurrence relations to enumerate our objects which can be used to give closed forms for the generating functions associated with such distributions. In many cases, we provide combinatorial explanations of the coefficients that appear in our generating functions. The case of quadrant marked mesh patterns $MMP(a,b,c,d)$ where three or more of $a,b,c,d$ are constrained to be greater than 0 will be studied in \cite{kitremtieIII}.

研究の動機と目的

• 132を避ける置換における四分円マーク付きメッシュパターンの分布解析を、単一パラメータのケースを超えて体系的に拡張すること。
• MMP(a,b,c,d)の4つのパラメータのうち、ちょうど2つが正である場合に焦点を当て、単一非ゼロパラメータに注目した先行研究を基盤とすること。
• このようなパターンの分布に関する明示的な漸化式と閉形式母関数を導出すること。
• 母関数の係数、特にxの最高次の項および2番目に高い次の項の組合せ的解釈を提供すること。
• カタラン数やペル数といった既知の組合せ的数列と関連づけ、古典的なパターン回避クラスとの関連を特定すること。

提案手法

• 著者らは、σiが( i,σi )を基準とした第I, II, III, IV象限にそれぞれ少なくともa, b, c, d個の点を持つとき、σiがMMP(a,b,c,d)のパターンに一致すると定義する。
• 最大要素の位置と値に基づく132を避ける置換の再帰的分解を用い、母関数Q^{(a,b,c,d)}_{n,132}(x)の漸化式を導出する。
• 母関数は、Q_{132}^{(0,1,0,1)}(t,x) = (1 - 2t + 2t^2)/(1-t)^3のような関数方程式で表現され、畳み込み恒等式から導出される。
• 先行研究[9]における単一パラメータパターンの既知の結果（例：Q^{(1,0,0,0)}_{n,132}(x) = C_{n-1}x^{n-1} + ...）を活用し、2パラメータケースを構築する。
• MMPの一致数を最大化する置換の構造を分析することで、カタラン数の積を含む式が得られる。
• 記号計算と係数抽出を用いて、Q^{(a,b,c,d)}_{n,132}(x)におけるx^rの係数の明示的公式を導出し、特にr = n-k-ℓおよびr = n-k-ℓ-1のケースを扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 132を避ける置換にMMP(0,1,0,1)がr回現れる数の母関数は何か？
• RQ2 MMP(a,b,c,d)の分布を132を避ける置換で数えるために、a,b,c,dのうちちょうど2つが正である場合に漸化式をどのように導出できるか？
• RQ3 Q^{(0,k,0,ℓ)}_{n,132}(x)におけるxの最高次の項の係数は何か？その組合せ的解釈は？
• RQ4 Q^{(0,1,0,1)}_{n,132}(x)におけるxの2番目に高い次の項の係数は何か？カタラン数とどのように関係するか？
• RQ5 Q^{(0,k,0,ℓ)}_{132}(t,x)の母関数は、A116731のような既知の整数列とどのように関連するか？

主な発見

• n ≥ k+ℓ+1のとき、Q^{(0,k,0,ℓ)}_{n,132}(x)におけるxの最高次の項はx^{n-k-ℓ}であり、その係数はC_k C_ℓ C_{n-k-ℓ}である。ここでC_nは第nカタラン数である。
• n ≥ 4のとき、Q^{(0,1,0,1)}_{n,132}(x)におけるx^{n-3}の係数は2C_{n-2} + C_{n-3}であり、2番目に高い次の項の明示的公式が得られる。
• 母関数Q^{(0,1,0,1)}_{132}(t,0)は(1 - 2t + 2t^2)/(1-t)^3に等しく、n ≥ 2のときQ^{(0,1,0,1)}_{n,132}(0) = 1 + binom(n,2)である。これは132および321を避ける置換に対応する。
• 母関数Q^{(0,2,0,1)}_{132}(t,0) = (1 - 3t + 4t^2 - t^3 + t^4)/(1-t)^4であり、Q^{(0,2,0,1)}_{n,132}(0)の列はOEIS A116731に一致し、321、2143、3142を避ける置換を数える。
• 母関数Q^{(0,2,0,2)}_{132}(t,0) = (1 - 4t + 7t^2 - 5t^3 + 4t^4 + 2t^5)/(1-t)^5であり、分子が構造的な多項式であることが示される。
• 本稿では、132を避ける置換におけるMMP(0,k,0,ℓ)の分布が、係数を明示的に計算できる漸化式と母関数によって完全に特徴づけられることを確立した。