[論文レビュー] Quantization of classical integrable systems. Part III: systems in n-dimensional Euclidean space

Massimo Marino, N. N. Nekhoroshev|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2010

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、n次元ユークリッド空間内の古典的可積分系に、対称化に基づく量子化手法を適用し、中心力場内の1粒子系が標準的対称化により準可積分量子系をもたらすことを示している。n=6次元の自由剛体に対しては、マナコフ多項式への2次補正を加える修正された対称化手順が必要となり、量子可積分性を回復する。n>6の場合にも同様の修正が有効であるとの予想が提示されている。

ABSTRACT

In this paper we give examples of applications of general methods of quantization by symmetrization of classical integrable systems, which have been illustrated in two previous works by the same authors. We consider two classes of systems in n spatial dimensions, which respectively describe a point particle in a central force field and a freely rotating rigid body. In the former case, the application of the general methods to an integrable classical system leads in an almost straightforward way to the quasi-integrability of the corresponding quantum system. In the latter case instead, a modification of the symmetrization procedure is necessary in order to achieve quantum integrability for n=6.

研究の動機と目的

• 古典的可積分系の一般的量子化枠組みをn次元ユークリッド空間へ拡張すること。
• 中心力場内の1粒子系に対して、標準的対称化が量子可積分性を保つかどうかを調査すること。
• n=6次元の自由剛体が量子可積分性を達成するために、修正された量子化手順を必要とするかどうかを特定すること。
• n=6の場合に、ハミルトニアンと可換性を回復するように対称化を修正するための構成的手法を提供すること。
• n>6次元の場合にも類似の修正が準可積分性をもたらす可能性があるとの予想を提示すること。

提案手法

• 先行研究[2]における一般的対称化手順を適用し、古典的可積分関数集合から量子演算子を構成する。
• リー代数的構造と中心的部分集合を用いて、中心積分の数をkとすると、2n−k個の古典的関数の可積分集合を同定する。
• 1粒子中心力系に対して、古典的積分の対称化が直接的に準可積分量子系をもたらすことを示す。
• 自由剛体に対しては、次数4の古典的マナコフ多項式を、古典的可積分集合内の中心積分として同定する。
• n=6の場合に、マナコフ多項式の標準的対称化がハミルトニアンと可換でないことを示す。
• 左不変運動量に関する2次対称多項式を加えることで修正された演算子を導入し、ハミルトニアンおよび他の積分と可換性を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心力場内のn次元1粒子系に対して、標準的対称化量子化が可積分性を保つことができるか？
• RQ2 なぜ標準的対称化はn=6次元の自由剛体に対して、量子可積分系を生成しないのか？
• RQ3 n=6次元剛体の量子可積分性を回復するために、対称化手順にどのような修正が必要か？
• RQ4 n>6次元の高次元剛体に対して、準可積分量子系を体系的に構成する方法はあるか？
• RQ5 古典的系における中心積分の数は、次元nと一般化された慣性モーメントとどのように関係するか？

主な発見

• n次元中心力場内の1粒子系に対して、古典的積分の標準的対称化は、k個の中心演算子を持つ準可積分量子系をもたらす。
• n≤5次元の自由剛体に対しては、標準的対称化により修正なしに量子可積分系が得られる。
• n=6の場合、マナコフ多項式c_{6,2}の標準的対称化はハミルトニアンと可換ではなく、量子可積分性が破れる。
• 修正された演算子C_{6,2} = c_{6,2} + (5/12)∑_{i<j} λ_i²λ_j² (P^L_ij)²が、ハミルトニアンおよび他の積分と可換性を回復する。
• 直接計算により確認されたように、[c_{5,1}, C_{6,2}]の交換子は項のキャンセルにより消えるため、量子可積分集合の閉包が確認される。
• 修正された演算子C_{6,2}の記号は古典関数c_{6,2}と一致し、量子演算子集合の関数的独立性および準独立性が保証される。