[論文レビュー] Quantum A-infinity Structures for Open-Closed Topological Strings

Manfred Herbst|ArXiv.org|Feb 2, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 34被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、複数の境界を持つ高 genus リーマン面における開-閉トポロジカル弦振幅について、量子 ${\cal A}_{\infty}$-関係を確立し、それらが複数の D-ブレーン配置におけるディスク振幅から、高 genus の開弦振幅を再帰的に計算できることを示している。$\hat{c}=3$ モデルでは、1つの D-ブレーンではこれらの関係が自明になるが、複数の D-ブレーン設定では解ける線形系をもたらし、開 Gromov–Witten 不変量の計算フレームワークを提供する。

ABSTRACT

We study factorizations of topological string amplitudes on higher genus Riemann surfaces with multiple boundary components and find quantum A-infinity relations, which are the higher genus analog of the (classical) A-infinity relations on the disk. For topological strings with $\hat c=3$ the quantum A-infinity relations are trivially satisfied on a single D-brane, whereas in a multiple D-brane configuration they may be used to compute open higher genus amplitudes recursively from disk amplitudes. This can be helpful in open Gromov--Witten theory in order to determine open string higher genus instanton corrections. Finally, we find that the quantum A-infinity structure cannot quite be recast into a quantum master equation on the open string moduli space.

研究の動機と目的

• ディスク上の古典的 ${\cal A}_{\infty}$-関係を、複数の境界を持つ高 genus リーマン面へと拡張すること。
• 高 genus 振幅の文脈において、開-閉トポロジカル弦振幅のための量子 ${\cal A}_{\infty}$-関係を導出すること。
• これらの量子関係を用いた、特に複数の D-ブレーン配置における開弦振幅の再帰的計算を探索すること。
• 量子 ${\cal A}_{\infty}$-構造と開弦モジュライ空間上の量子マスター方程式との関係を調査すること。
• 中心電荷 $\hat{c}=3$ が、特に単一 D-ブレーン系における量子 ${\cal A}_{\infty}$-関係を単純化する役割を果たす理由を明確化すること。

提案手法

• モジュライ空間 $\bar{\cal M}_{g,b;0,m_1,\ldots,m_b}$ の退化を分析することで、量子 ${\cal A}_{\infty}$-関係を導出する。特に、開弦因子化チャネルに注目する。
• すべての genus における生成関数 $S(g_s,t,\hat{s}) = \sum_{g,b} g_s^{2g+b-2} \mathcal{F}^{g,b}_{A_1|\ldots|A_b}(t) \hat{s}_{A_1}\ldots\hat{s}_{A_b}$ を用いて振幅を符号化する。
• BRST挿入を伴う $\mathbb{Z}_2$-次数付き形式的を用い、閉弦因子化チャネルを避けるために、codimension-1 側面へ写像する。
• マスター方程式構造を解析するため、BV 演算子 $\Delta = \rho^{ab} \partial_a^\rightharpoonup \partial_b^\rightharpoonup$ を定義する。
• 非安定構成要素までを含めた、修正されたマスター方程式 $\Delta e^{-S/g_s^2} = \left(-\hat{s}^{1\!\!\!1\,} \mathrm{Tr}_{\mathcal{H}^{\alpha\beta}_{\mathrm{op}}} (-)^F + \text{non-stable} \right) e^{-S/g_s^2}$ を構成する。この方程式は非安定構成要素を除き、成立する。
• 量子 ${\cal A}_{\infty}$-関係が、マスター方程式よりも洗練されていることを示す。すなわち、マスター方程式は genus $g$ と境界数 $b$ を合算するが、量子 ${\cal A}_{\infty}$-関係はそれらを個別に分解できる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子 ${\cal A}_{\infty}$-関係は、ディスクから高 genus リーマン面（複数の境界を持つ）への古典的 ${\cal A}_{\infty}$-関係の一般化としてどのように機能するか？
• RQ2 中心電荷 $\hat{c}=3$ は、特に単一対比して複数の D-ブレーン系における量子 ${\cal A}_{\infty}$-関係を単純化する役割を果たすか？
• RQ3 量子 ${\cal A}_{\infty}$-関係は、複数の D-ブレーン配置におけるディスク振幅から、高 genus 開弦振幅を再帰的に計算するために使用可能か？
• RQ4 モジュライ空間の境界に閉弦因子化チャネルが存在するにもかかわらず、なぜ量子 ${\cal A}_{\infty}$-関係にはそれらが現れないのか？
• RQ5 量子 ${\cal A}_{\infty}$-構造は、開弦モジュライ空間上で、どの程度まで量子マスター方程式に再定式化可能か？

主な発見

• 複数の境界を持つ高 genus リーマン面における開-閉トポロジカル弦振幅について、量子 ${\cal A}_{\infty}$-関係が導出され、一貫性のあるホモトピー代数的構造を形成している。
• $\hat{c}=3$ モデルでは、$U(1)$ R-荷電選択則のおかげで、1つの D-ブレーン上では量子 ${\cal A}_{\infty}$-関係が自明に満たされる。
• 複数の D-ブレーン配置では、関係が解ける線形系をもたらし、ディスク振幅から高 genus 開弦振幅を再帰的に計算可能となる。
• 非安定構成要素からの寄与のため、量子 ${\cal A}_{\infty}$-関係は標準的な量子マスター方程式に完全に還元されない。代わりに、修正されたマスター方程式が得られる。
• 生成関数 $S(g_s,t,\hat{s})$ は、同じオイラー標数と境界場の内容を持つが、異なる $g$ と $b$ を持つ振幅を統合しており、マスター方程式は元の関係よりも粗いものとなる。
• 量子 ${\cal A}_{\infty}$-関係は、マスター方程式よりも細かく制御可能である。特に、振幅を genus と境界数に分解できるため、F-項や高 genus の Gromov–Witten 不変量の計算に不可欠である。