[論文レビュー] Quantum Addition Circuits and Unbounded Fan-Out

Yasuhiro Takahashi, Seiichiro Tani+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 20被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、アーキテクチャに依存しない $O(n)$-depth、$O(n)$-size の量子アドダーサーキットを提示し、アーキテクチャに依存しない $7n-6$ の最小サイズを達成している。さらに、任意の $d(n) = \Omega(\log n)$ に対して、$O(n/d(n))$ 個のアーキテクチャに依存しないアタリティクビットを用いて、サブロガリズミック・ディープネスの回路を構築する一般化された手法を導入し、長さ $O(n^\varepsilon)$ の無限ファンアウトゲートを用いることで、$O(\log^* n)$-depth かつ $o(n)$ アタリティクビットを達成する。この構成により、ショアの離散対数アルゴリズムのためのより効率的な量子回路が可能になる。

ABSTRACT

We first show how to construct an O(n)-depth O(n)-size quantum circuit for addition of two n-bit binary numbers with no ancillary qubits. The exact size is 7n-6, which is smaller than that of any other quantum circuit ever constructed for addition with no ancillary qubits. Using the circuit, we then propose a method for constructing an O(d(n))-depth O(n)-size quantum circuit for addition with O(n/d(n)) ancillary qubits for any d(n)=Ω(log n). If we are allowed to use unbounded fan-out gates with length O(n^c) for an arbitrary small positive constant c, we can modify the method and construct an O(e(n))-depth O(n)-size circuit with o(n) ancillary qubits for any e(n)=Ω(log* n). In particular, these methods yield efficient circuits with depth O(log n) and with depth O(log* n), respectively. We apply our circuits to constructing efficient quantum circuits for Shor's discrete logarithm algorithm.

研究の動機と目的

• アーキテクチャに依存しない最小のサイズとディープネスを備えた量子アドダーサーキットを設計し、既存の設計を改善すること。
• 任意の $d(n) = \Omega(\log n)$ に対して、$O(n/d(n))$ 個のアタリティクビットを用いて、調整可能なディープネス $O(d(n))$ を達成するように構築を一般化すること。
• 長さ $O(n^\varepsilon)$ の無限ファンアウトゲートを用いて、$O(\log^* n)$-depth の回路を実現し、$o(n)$ 個のアタリティクビットを用いること。
• 改良されたアドダーサーキットを用いて、ショアの離散対数アルゴリズムにおけるリソースのオーバーヘッドを低減すること。

提案手法

• 線形近隣アーキテクチャに最適化されたリップルキャリー方式を用い、アタリティクビットを一切使用しない $7n-6$-size、$O(n)$-depth の量子アドダーを構築する。
• リップルキャリー・アドダーとキャリーローカルトロジックを組み合わせることで、任意の $d(n) = \Omega(\log n)$ に対して、$O(n/d(n))$ 個のアタリティクビットを用いて $O(d(n))$-depth の回路を実現する。
• チャンドラらの定数ディープネスの古典的回路の量子版を導入し、長さ $O(n^\varepsilon)$ の無限ファンアウトゲートを活用してディープネスを低減する。
• 無限ファンアウトに基づくキャリーローカルトロジック計算のためのブロックとして、ホイヤーらの一般化されたトフォリ操作の小ディープネス量子回路を用いる。
• プロオスらのショアの離散対数アルゴリズム実装における $O(n)$-depth、$O(n)$-size の ADD$_n$ 回路を、新しいアドダーサーキットに置き換えることで、アタリティクビットの使用を削減する。
• $e(n) = \Omega(\log^* n)$ のとき、修正された回路が $O(n^2 e(n))$-depth および $O(n^3)$-size で、$4n + o(n)$ 個のキュービットを用いることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーキテクチャに依存しないアタリティクビットを一切使用せず、$O(n)$-depth かつサイズ $7n-6$ の量子アドダーサーキットを構築可能か？
• RQ2 任意の $d(n) = \Omega(\log n)$ に対して、サイズ $O(n)$ を維持しつつ、$O(n/d(n))$ 個のアタリティクビットを用いて量子アドダーのディープネスを $O(d(n))$ に低減可能か？
• RQ3 長さ $O(n^\varepsilon)$ の無限ファンアウトゲートを用いて、$O(\log^* n)$-depth かつ $o(n)$ 個のアタリティクビットを用いたアドダーサーキットを実現可能か？
• RQ4 新しいアドダーサーキットは、ショアの離散対数アルゴリズムにおけるキュービット数とディープネスのオーバーヘッドをどの程度低減可能か？

主な発見

• 提案された $O(n)$-depth、$O(n)$-size のアドダーは、正確に $7n-6$ のサイズであり、アタリティクビットを一切使用しない既存のアドダーの中で最小である。
• 任意の $d(n) = \Omega(\log n}$ に対して、$O(d(n))$-depth、$O(n)$-size のアドダーが $O(n/d(n))$ 個のアタリティクビットを用いて構築可能であり、$d(n) = \log n$ の場合にタカハシらの先行研究のサイズの半分未満である。
• 任意の $\varepsilon > 0$ に対して、長さ $O(n^\varepsilon)$ の無限ファンアウトゲートを用いることで、$O(\log^* n)$-depth、$O(n)$-size のアドダーが $o(n)$ 個のアタリティクビットを用いて構築可能である。
• 修正されたアドダーにより、ショアの離散対数アルゴリズムにおけるアタリティクビット数は $5n$ から $4n + o(n)$ に削減されたが、漸近的に同じディープネスとサイズを維持した。
• 長さ $O(\log n)$ の無限ファンアウトゲートが、$o(n)$ 個のアタリティクビットを用いて $O(\log n / \log \log n)$-depth の回路を達成するのに十分であることが示された。
• 新しいアドダーサーキットにより、$e(n) = \Omega(\log^* n)$ のとき、$O(n^2 e(n))$-depth および $O(n^3)$-size のより効率的なショアの離散対数アルゴリズムの実装が可能になった。