[論文レビュー] Quantum Circuit Depth Lower Bounds For Homological Codes

Dorit Aharonov, Yonathan Touati|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ギャップを持つ局所ハミルトニアンの固有状態としてのキタエフの球面コードの唯一の基底状態に対する、初めての量子回路深さ下界を確立する。著者らは、γ-分離と呼ばれる新しいトポロジカル不変量を用いて、Ω(log n)の下界を証明した。この結果により、定数深さ回路で容易に生成可能な自明な状態と、トポロジカルに秩序された基底状態を分離し、量子複雑性とトポロジカルオーダーの分野における重要な課題を解決した。

ABSTRACT

We provide an $Ω(log(n))$ lower bound for the depth of any quantum circuit generating the unique groundstate of Kitaev's spherical code. No circuit-depth lower bound was known before on this code in the general case where the gates can connect qubits even if they are far away; To the best of our knowledge, this is the first time a quantum circuit-depth lower bound is given for unique ground state of a {\it gapped} local Hamiltonian. Providing a lower bound in this case seems more challenging, since such systems exhibit exponential decay of correlations and standard lower bound techniques do not apply. We prove our lower bound by introducing the new notion of $γ$-separation, and analyzing its behavior using algebraic topology arguments. We extend out methods also to a wide class of polygonal complexes beyond the sphere, and prove a circuit-depth lower bound whenever the complex does not have a small "bottle neck" (in a sense which we define). Here our lower bound on the circuit depth is only $Ω(logloglog(n))$. We conjecture that the correct lower bound is at least $Ω(log(log(n))$, but this seems harder to achieve due to the possibility of hyperbolic geometry. For general simplicial complexes the lack of geometrical restriction on the gates becomes considerably more problematic than for the sphere, and we need to thoroughly modify the original argument in order to get a meaningful bound. To the best of our knowledge, this is the first time the class of trivial quantum states is separated from the class of unique ground states of gapped local Hamiltonians; we provide a survey of the current status of this hierarchy for completeness.The tools developed here will be useful in various contexts in which quantum circuit depth lower bounds are of interest, including the study of topological order, quantum computational complexity and quantum algorithmic speedups.

研究の動機と目的

• キタエフの球面コード、すなわちギャップを持つ局所ハミルトニアンの唯一の基底状態に対する回路深さ下界を確立すること。
• ゲートが非局所的に作用する一般の回路モデルにおいて、従来の幾何的制限付き設定とは異なり、下界を証明する課題を克服すること。
• 量子状態の複雑さを分析する新しいトポロジカルツールとしてのγ-分離の概念を導入し、形式化すること。
• 下界の技法を一般の多角形複体に拡張し、非自明な深さを示す構造的条件（小さなブottleneckの不在）を同定すること。
• 定数深さ回路で生成可能な自明な量子状態のクラスと、ギャップを持つ局所ハミルトニアンの唯一の基底状態のクラスを分離し、グローバルなもつれとトポロジカルオーダーの階層を明確にすること。

提案手法

• ホモロジー符号における量子状態の構造的複雑さを定量化するトポロジカル不変量であるγ-分離の概念を導入する。
• 代数的トポロジーを用いて、γ-分離が局所的量子操作の下でどのように振る舞うかを分析し、トポロジカル構造と回路深さ制約を結びつける。
• γ-分離とトポロジカル不変性を用いて、キタエフの球面コードの基底状態を生成する任意の量子回路が、少なくともΩ(log n)の深さを持つ必要があることを証明する。
• 一般の多角形複体にこの手法を拡張するために、トポロジカルなブottleneck条件を定義し、そのようなブottleneckが存在しない場合にはΩ(log log log n)の深さ下界が成り立つことを示す。
• ギャップを持つ局所ハミルトニアンの基底状態が指数関数的に衰える相関を持つことを利用し、標準的な下界技法が無効になることを認識し、γ-分離を用いてこれを克服する。
• 拡張されたCAT状態への還元を用い、長距離相関を持つ状態との重なりが、定数深さ回路では生成できないことを示し、基底状態の非自明性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所ゲートが許可された状況下でも、定数深さの量子回路はキタエフの球面コードの唯一の基底状態を生成できるか？
• RQ2 非局所ゲートが許可された場合、ギャップを持つ局所ハミルトニアンの基底状態を準備するのに必要な最小の回路深さは何か？
• RQ3 幾何的制約のない状況下で、トポロジカル不変量をどのように用いて量子回路深さの下界を導出できるか？
• RQ4 どのようなトポロジカル条件下で、ホモロジー符号の基底状態が非定数の回路深さを要するか？
• RQ5 定数深さ回路で生成可能な自明な量子状態のクラスと、ギャップを持つ局所ハミルトニアンの唯一の基底状態のクラスを分離できるか？

主な発見

• 本稿は、非局所ゲートが許可された状況下でも、キタエフの球面コードの唯一の基底状態を生成する回路に対して、Ω(log n)の回路深さ下界を確立した。
• この下界は定数のオーダーでタイトである。なぜなら、対数的深さのMERA回路が同じ状態を準備できるからである。
• 著者らは、非幾何的設定において深さ下界を導出可能にする新しいトポロジカル不変量であるγ-分離を導入した。
• 広範な多角形複体のクラスに対して、複体に小さなトポロジカルブottleneckが存在しない限り、Ω(log log log n)の深さ下界が成り立つことを証明した。
• 著者らは、より強いΩ(log log n)の下界を予想しているが、現在の技術では双曲幾何学的要因がそのような下界を妨げる可能性があると指摘している。
• 本研究は、定数深さ回路で生成可能な自明な量子状態のクラスと、ギャップを持つ局所ハミルトニアンの唯一の基底状態のクラスを分離する初の結果を提供し、トポロジカルオーダーともつれの階層に関する理解を前進させた。