[論文レビュー] Quantum Evolution of the Time-Dependent Non-Hermitian Hamiltonians: Real Phases

Mustapha Maamache, Oum Kaltoum Djeghiour+2 more|arXiv (Cornell University)|May 17, 2017

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、明示的に時間に依存する計量を持つ非エルミートハミルトニアンに対して、時間に依存する擬エルミート的（TDPH）不変理論を構築し、時間に依存するシュレーディンガー方程式の正確な解を得ることを可能にする。一般化されたスワソンモデルにルイス＝ライゼンフェルト不変量法を適用し、実数値の動的位相および正確な固有状態を導出し、時間に依存する計量と準エルミート的構造を通じて、非エルミート性にもかかわらずユニタリな時間発展を保証する。

ABSTRACT

Explicitly time-dependent pseudo-Hermitian (TDPH) invariants theory systems, with a time-dependent (TD) metric, is developed for a time-dependent non Hermitian (TDNH) quantum systems. We derive a simple relation between the eigenstates of this pseudo-Hermitien (PH) invariant and the solutions of the Schrodinger equation. A physical system is treated in detail: the TD Swanson model, where an explicitly TDPH invariant is derived for this system, the eigenvalues and eigenstates of the invariant are calculated explicitly.

研究の動機と目的

• 時間に依存する非エルミート（TDNH）量子系において、明示的に時間に依存する計量を持つユニタリ時間発展を一貫して確立すること。
• 計量演算子が時間に依存する場合に、準エルミート性とユニタリティをTDNH系に拡張する際の概念的課題を解消すること。
• 標準的な不変量法を時間に依存するハミルトニアンに一般化する時間に依存する擬エルミート的不変理論を構築すること。
• 時間に依存する複素係数を有する一般化されたスワソンモデルにこの形式的枠組みを適用し、正確な解を提供すること。
• 時間発展演算子における動的位相因子の実数性を保証すること。これは確率的解釈とユニタリティにとって不可欠である。

提案手法

• 時間に依存する擬エルミート的（TDPH）不変演算子 $ I^{PH}(t) $ を導入し、時間に依存する類似変換 $ I^h(t) = \rho(t) I^{PH}(t) \rho^{-1}(t) $ を通じて、エルミート的不変量 $ I^h(t) $ と関連付ける。
• 時間に依存するシュレーディンガー方程式を解くために、ルイス＝ライゼンフェルト不変量法を時間に依存する非エルミートハミルトニアンに適用し、解を $ I^{PH}(t) $ の固有状態と時間に依存するグローバル位相 $ \gamma_n(t) $ で表す。
• 時間に依存する正準変換を用いて、時間に依存する係数 $ \omega(t), \alpha(t), \beta(t) $ を有する一般化されたスワソンハミルトニアンに対するTDPH不変量の一般形を導出する。
• 正規直交性を $ \eta $-内積の下で保証するように、不変量の固有状態 $ \phi_n^H(x,t) $ をヘルミート多項式と時間に依存する重み因子 $ \eta(t) $ を用いて構成する。
• 動的位相 $ \gamma_n(t) $ が実数であることを保証するため、時間に依存する周波数 $ W(t) $ に条件を課す。これはユニタリティと物理的整合性にとって重要である。
• 関係式 $ \left| \Psi^h(t) \right\rangle = \rho(t) \left| \Phi^H(t) \right\rangle $ を用いて、エルミート系の解を非エルミート系に写像し、時間に依存する計量を通じてユニタリティを維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 明示的に時間に依存する計量を持つ非エルミートハミルトニアンに対して、一貫した時間に依存する擬エルミート的不変理論を構築できるか？
• RQ2 計量が時間に依存する場合に、ルイス＝ライゼンフェルト法はTDNH系に適用可能であり、ユニタリな時間発展をもたらすか？
• RQ3 時間に依存する計量を持つ非エルミート系の時間発展演算子における動的位相 $ \gamma_n(t) $ の実数性を保証する条件は何か？
• RQ4 時間に依存する複素係数を有する一般化されたスワソンハミルトニアンは、この不変量枠組みを用いてどのように正確に解けるか？
• RQ5 一般化されたスワソンモデルにおけるTDPH不変量の固有状態および固有値の明示的形は何か？

主な発見

• 時間に依存する係数を有する一般化されたスワソンハミルトニアンに対して、位置演算子および運動量演算子を用いて時間変化する係数を持つ、明示的な時間に依存する擬エルミート的不変量 $ I^{PH}(t) $ が構築された。
• 固有関数 $ \phi_n^H(x,t) $ は、ヘルミート多項式と時間に依存するガウス型重み因子 $ \eta(t) = \exp\left[ \frac{\Phi(\chi-1)}{(\Phi - \chi)(1 - \Phi)} x^2 \right] $ を含む調和振動子に類似した状態として導出され、$ \eta $-内積の下で正規直交性が保証される。
• 周波数 $ W(t) $ が実数である場合、動的位相 $ \gamma_n(t) $ が実数であることが示され、これはパrameters $ \omega(t), \alpha(t), \beta(t) $ に特定の時間依存制約を課すことによって達成される。これによりユニタリな時間発展が保証される。
• 時間に依存するシュレーディンガー方程式の正確な解は、$ \left| \Phi^H(t) \right\rangle = \sum_n C_n(0) \exp\left( i k_n \int_0^t \frac{2}{\vartheta_0} \left[ |\omega|(\Phi^2 + \chi)\cos\varphi_\omega - 4\Phi|\alpha|\cos\varphi_\alpha \right] dt' \right) \left| \phi_n^H(t) \right\rangle $ で与えられ、実数の位相変化を示す。
• 不変量の固有値は $ 2k_n = n + \frac{1}{2} $ であり、時間に依存する変換の下で調和振動子のスペクトル構造が確認される。
• 形式的枠組みは、計量が時間に依存する場合に、不変量が擬エルミート的であり、かつ位相が実数のままであれば、TDNH系においてもユニタリな時間発展が可能であることを確認した。これにより、従来の文献における一貫性の欠如が解消された。