[論文レビュー] Quantum Hamiltonian reduction of W-algebras and category O

Stephen P. Morgan|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、型Aリー代数における隣接する冪零軌道に関連するW代数を関連付けるために段階的量子ハミルトニアン還元を導入する。W代数間の双加群を構成し、それらのカテゴリOのブロック間の同型を確立し、翻訳ファンクターを一般化し、$U(\frak{sl}_2)$ のカテゴリフィケーションのための枠組みを提供する。

ABSTRACT

W-algebras are a class of non-commutative algebras related to the classical universal enveloping algebras. They can be defined as a subquotient of U(g) related to a choice of nilpotent element e and compatible nilpotent subalgebra m. The definition is a quantum analogue of the classical construction of Hamiltonian reduction. We define a quantum version of Hamiltonian reduction by stages and use it to construct intermediate reductions between different W-algebras U(g,e) in type A.This allows us to express the W-algebra U(g,e') as a subquotient of U(g,e) for nilpotent elements e' covering e. It also produces a collection of (U(g,e),U(g,e'))-bimodules analogous to the generalised Gel'fand-Graev modules used in the classical definition of the W-algebra; these can be used to obtain adjoint functors between the corresponding module categories. The category of modules over a W-algebra has a full subcategory defined in a parallel fashion to that of the Bernstein-Gel'fand-Gel'fand (BGG) category O; this version of category O(e) for W-algebras is equivalent to an infinitesimal block of O by an argument of Miličić and Soergel. We therefore construct analogues of the translation functors between the different blocks of O, in this case being functors between the categories O(e) for different W-algebras U(g,e). This follows an argument of Losev, and realises the category O(e') as equivalent to a full subcategory of the category O(e) where e' is greater than e in the refinement ordering.

研究の動機と目的

• 型AにおけるW代数に対して段階的量子ハミルトニアン還元を構築し、隣接する冪零元に関連するW代数の間の中間還元を可能にする。
• 一般化されたゲルファンド＝グラエフ・モジュールに類似した$(U(\frak{g},e), U(\frak{g},e'))$-双加群を構成し、W代数の加群カテゴリ間の随伴ファンクターを促進する。
• 異なるW代数$U(\frak{g},e)$のカテゴリOの完全部分カテゴリ間の同型を確立し、BGGの意味での翻訳ファンクターを一般化する。
• refine ordering において$e' \geq e$ であるとき、$\epsilon(e')$ を $\epsilon(e)$ の完全部分カテゴリとして実現し、Losevの枠組みを拡張する。
• Bernstein–Frenkel–Khovanovのインスピレーションを受けて、W代数のカテゴリOを用いた$U(\frak{sl}_2)$ のカテゴリフィケーションへの新たな道筋を提供する。

提案手法

• 段階的量子ハミルトニアン還元を用い、半直積構造$\mathfrak{m}_2 = \mathfrak{m}_1 \rtimes \mathfrak{k}$ を通じて還元プロセスを段階的に分解する。
• Losevの変形量子化および量子代数の完備化に関する道具を用い、フェドソフのスター積を通じて$U(\frak{g},e_1)^\heartsuit$ と $U(\frak{g},e_2) \otimes \mathbf{A}_V^\heartsuit$ を関連付ける。
• 等長的シンプレクティック同型 $\psi: T_xX_1 \to T_xX_2 \oplus V^*$ およびルーナのスライス定理を用いて、$\widetilde{G}$-不変な完備代数の同型を構成する。
• G-不変部分と$\mathbb{C}^\times$-有限部を用いて、写像 $\Phi: U(\frak{g},e_1)^\heartsuit \to (U(\frak{g},e_2) \otimes \mathbf{A}_V)^\heartsuit$ を構築する。
• スクリアビン同型を用いて、W代数のカテゴリ$\mathcal{O}(e)$ をBGGカテゴリ$\mathcal{O}$の無限小ブロックと同定する。
• WhittakerモジュールとカテゴリOブロックを結ぶカテゴリ同型 $K: \mathsf{Whit}^\mathfrak{t}_\mathfrak{m}(U(\frak{g},e_1)) \to \mathcal{O}^\mathfrak{t}(e_2, \mathfrak{p}_2)$ を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子ハミルトニアン還元を、隣接する冪零軌道に関連するW代数を結ぶために段階的プロセスに拡張することは可能か？
• RQ2 このような還元から生じる双加群は何か？ そして、それらはW代数の加群カテゴリ間の随伴ファンクターをどのように誘導するか？
• RQ3 W代数のカテゴリOは、BGGカテゴリ$\mathcal{O}$に類似した構造を持つと見なせるか？ また、異なる$e$に対するブロック間にはどのような同型関係があるか？
• RQ4 refinement ordering における$e' \geq e$ は、W代数のカテゴリOにおける部分カテゴリ包含関係とどのように関係するか？
• RQ5 この枠組みは、Bernstein, Frenkel, および Khovanov が提起したように、$U(\frak{sl}_2)$ のカテゴリフィケーションを支援できるか？

主な発見

• 論文は、隣接する冪零元$e' \geq e$ に対して、$U(\frak{g},e')$ が $U(\frak{g},e)$ の部分商として実現される段階的量子ハミルトニアン還元を構築した。
• 一般化されたゲルファンド＝グラエフ・モジュールに類似した$(U(\frak{g},e), U(\frak{g},e'))$-双加群を確立し、W代数の加群カテゴリ間の随伴ファンクターを可能にした。
• W代数のカテゴリ$\mathcal{O}(e)$ は、スクリアビン同型によりBGGカテゴリ$\mathcal{O}$の無限小ブロックと同型である。
• $e' \geq e$ のとき、カテゴリ$\mathcal{O}(e')$ は $\mathcal{O}(e)$ の完全部分カテゴリとして実現され、翻訳ファンクターを一般化した。
• 完備化および$\widetilde{G}$-不変同型を介して、カテゴリ同型 $K: \mathsf{Whit}^\mathfrak{t}_\mathfrak{m}(U(\frak{g},e_1)) \to \mathcal{O}^\mathfrak{t}(e_2, \mathfrak{p}_2)$ が確立された。
• この構成により、Bernstein, Frenkel, および Khovanov の枠組みに従って、$U(\frak{sl}_2)$ のカテゴリフィケーションへの新たな道筋が提供された。