[論文レビュー] Quantum Hitchin Systems via beta-deformed Matrix Models

Giulio Bonelli, Kazunobu Maruyoshi+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 76被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、Nekrasov-Shatashvili極限において、β-変形された行列モデルのループ方程式が、マークされた点を持つ球面およびトーラス上の量子Hitchin系のハミルトニアンを再現することを示すことにより、量子Hitchin系とβ-変形された行列モデルの直接的な関係を確立する。これらのハミルトニアンの固有値は、N=2ゲージ理論におけるチャーラル観測量のε₁変形に対応し、正確な波動関数は、退化した場の挿入を伴うLiouville conformalブロックの行列モデル表現から導かれる。

ABSTRACT

We study the quantization of Hitchin systems in terms of beta-deformations of generalized matrix models related to conformal blocks of Liouville theory on punctured Riemann surfaces. We show that in a suitable limit, corresponding to the Nekrasov-Shatashvili one, the loop equations of the matrix model reproduce the Hamiltonians of the quantum Hitchin system on the sphere and the torus with marked points. The eigenvalues of these Hamiltonians are shown to be the epsilon1-deformation of the chiral observables of the corresponding N=2 four dimensional gauge theory. Moreover, we find the exact wave-functions in terms of the matrix model representation of the conformal blocks with degenerate field insertions.

研究の動機と目的

• Nekrasov-Shatashvili極限において、量子Hitchin系とβ-変形された行列モデルの間の対応関係を確立すること。
• 一般化されたβ-変形行列モデルのループ方程式が、分岐点をもつ球面およびトーラス上の量子Hitchin系のハミルトニアンを再現することを示すこと。
• これらのハミルトニアンの固有値が、N=2次元ゲージ理論におけるチャーラル観測量のε₁変形として特定されること。
• 退化した場の挿入を伴うLiouville conformalブロックの行列モデル表現を用いて、量子Hitchin系の正確な波動関数を構成すること。

提案手法

• 標準的なVandermonde行列式が、等置換パラメータε₁に関連するパrameter βによって変形された一般化された行列モデルのβ-変形を用いる。
• 行列モデルのループ方程式形式を用いて、Nekrasov-Shatashvili極限（β → 0）において、微分方程式に解釈されるスペクトル曲線を導出する。この微分方程式が量子ハミルトニアンとして解釈される。
• AGT対応を用いて、Nekrasov-Shatashvili極限におけるNekrasov分岐関数を、退化した場の挿入を伴うLiouville conformalブロックに結びつける。
• conformalブロックの行列モデル表現を用いて、量子Hitchin系の正確な波動関数を構成する。
• M理論フレームワークを用いて、Hitchin系がΩバックグラウンドを伴うリーマン面に配置されたM5-braneから生じることを解釈する。
• 楕円関数およびWeierstrass ℘-関数を用いてトーラスの場合を分析し、特にtheta関数およびその微分に関する恒等式を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 β-変形された行列モデルのループ方程式が、Nekrasov-Shatashvili極限において、マークされた点を持つ球面およびトーラス上の量子Hitchin系のハミルトニアンを導出できるか？
• RQ2 量子Hitchinハミルトニアンの固有値は、N=2ゲージ理論におけるチャーラル観測量のε₁変形とどのように関係するか？
• RQ3 退化した場の挿入を伴うLiouville conformalブロックの行列モデル表現から、量子Hitchin系の正確な波動関数を再構成できるか？
• RQ4 特にβ-変形を通じて、行列モデルによる可積分系の一般化された量子化の手続きは存在するか？
• RQ5 β-変形された行列モデルにおけるスペクトル曲線の構造は、量子領域に現れるSchrödinger型微分方程式とどのように関係するか？

主な発見

• Nekrasov-Shatashvili極限において、β-変形された行列モデルのループ方程式が、マークされた点を持つ球面およびトーラス上のHitchin系の量子ハミルトニアンを再現する。
• これらのハミルトニアンの固有値は、対応するN=2次元ゲージ理論におけるチャーラル観測量のε₁変形として特定される。
• 量子Hitchin系の正確な波動関数は、退化した場の挿入を伴うLiouville conformalブロックの行列モデル表現から構成される。
• β-変形された行列モデルのスペクトル曲線は、Nekrasov-Shatashvili極限においてSchrödinger型微分方程式に変化し、これにより量子ハミルトニアンが得られる。
• N=2*理論において、ハミルトニアンの固有値は、Nekrasov-Shatashvili極限からの既知の結果と一致し、一貫性が確認される。
• この手法は、ゲージ理論の分岐関数、 conformal field theoryのブロック、量子可積分系を行列モデルを通じて系統立てて関連付けるフレームワークを提供する。