[論文レビュー] Quantum mechanics as the dynamical geometry of trajectories

Philipp Roser|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2015

Quantum Mechanics and Applications参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、配置空間を動的なウェイリー幾何学として扱うことで、相対論的でない量子力学の軌道のみの定式化を提案する。量子軌道は、古典的物質力学と曲率を組み合わせた作用原理から生じる。波動関数を含まない理論における角運動量の量子化に関するウォールストロムの反論は、非可縮ループを許容するようにラグランジアンを一般化することで解決され、物理的波動関数がなくても平衡状態においてド・ブロイ＝ボーhm軌道が回復される。

ABSTRACT

We illustrate how non-relativistic quantum mechanics may be recovered from a dynamical Weyl geometry on configuration space and an `ensemble' of trajectories (or `worlds'). The theory, which is free of a physical wavefunction, is presented starting from a classical `many-systems' action to which a curvature term is added. In this manner the equations of equilibrium de~Broglie-Bohm theory are recovered. However, naïvely the set of solution precludes solutions with non-zero angular momentum (a version of a problem raised by Wallstrom). This is remedied by a slight extension of the action, leaving the equations of motion unchanged.

研究の動機と目的

• 物理的波動関数を含まない量子理論を、配置空間内の軌道にのみ依存して構築すること。
• ウォールストロムの反論（軌道のみの理論における角運動量の量子化の理由）を、非可縮ループを許容する幾何的構造を導入することで解決すること。
• 動的ウェイリー幾何学とド・ブロイ＝ボーhmアンサンブルアプローチを統合し、平衡状態における量子力学的現象を再現すること。
• 抽象的な配置空間ではなく、軌道の多様体に基づく物理的実在論を確立し、哲学的整合性を高めること。

提案手法

• 配置空間内の軌道アンサンブルに対する古典的「多数系」作用を定式化する。
• アインシュタイン＝ヒルベルト項に類似した曲率項を作用に導入するが、配置空間におけるものであり、動的ウェイリー幾何学を導く。
• 全作用から運動方程式を導出し、平衡状態（ρ = |ψ|²）においてド・ブロイ＝ボーhm軌道と一致することを示す。
• ラグランジアンにおける全時間微分を一般化し、軌道多様体上に定義された位相関数 W のような関数を許容する。
• 非可縮ループを許容できるように、単一の配置空間ではなく軌道の多様体を導入する。これにより、∫∂iW·dli = 2πℏ·m（m∈ℤ）のような非ゼロで量子化された積分が可能になる。
• ウェイリー接続と共形結合を用いて、角運動量のような量子化された観測可能量を支持する幾何的構造を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 物理的波動関数を含まず、配置空間内の軌道にのみ依存して量子力学をどのように導出できるか？
• RQ2 なぜ軌道のみのモデルは角運動量の量子化を再現できないのか、そしてその問題はどのように解決できるか？
• RQ3 具体的にウェイリー幾何学としての配置空間の動的幾何学が、平衡状態におけるド・ブロイ＝ボーhm軌道を回復できるか？
• RQ4 軌道の多様体の物理的役割は何か？トポロジーと観測可能量の観点から、配置空間とはどのように異なるか？
• RQ5 幾何的アプローチは、場の関数にノードを持つ場合を含め、量子場理論へと拡張可能か？

主な発見

• 理論は平衡状態においてド・ブロイ＝ボーhm軌道を回復し、標準的量子力学のすべての予測と一致する。
• 作用に曲率項を含めることで、波動関数のノードで特異性を示す配置空間上の動的ウェイリー幾何が得られる。
• 軌道の多様体の導入により、非可縮ループが可能になり、∮∂iW·dli = 2πℏ·m（m∈ℤ）のような非ゼロで量子化された値が実現可能になる。
• ウォールストロムの反論は、位相関数 W を含むウェイリーゲージ不変項をラグランジアンに一般化することで解決され、非可縮ループ上で多価関数となる。
• 理論はサンタマトの作用と形式的に同等であるが、期待値の最小化に依存しない別々の出発点から導出される。
• 幾何的アプローチは、特に超空間軌道を介して、量子場理論およびおそらく量子重力への統一的基盤への道筋を示唆する。