[論文レビュー] Quantum Simulation of Klein Gordon Equation and Observation of Klein Paradox in IBM Quantum Computer

Manik Kapil, Bikash K. Behera+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 73被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、IBMの量子コンピュータ上で、粒子および反粒子がポテンシャル障壁を通過する現象をモデル化する2キュービット系を用いて、クライン-ゴルドン方程式の最初のデジタル量子シミュレーションを提示している。V > mc² の場合に粒子および反粒子がトンネル効果を示すクラインのパラドックスを観測し、スケーラブルな量子シミュレーションフレームワークにおいて相対論的量子効果を実証した。

ABSTRACT

The Klein Gordon equation was the first attempt at unifying special relativity and quantum mechanics. While initially discarded this equation of "many fathers" can be used in understanding spinless particles that consequently led to the discovery of pions and other subatomic particles. The equation leads to the development of Dirac equation and hence quantum field theory. It shows interesting quantum relativistic phenomena like Klein Paradox and "Zitterbewegung", a rapid vibrating movement of quantum relativistic particles. The simulation of such quantum equations initially motivated Feynman to propose the idea of quantum computation. While many such simulations have been done till date in various physical setups, this is the first time a digital quantum simulation of Klein Gordon equation is proposed on IBM's quantum computer. Here we simulate the time-dependent Klein Gordon equation in a barrier potential and clearly observe the tunnelling of the particle and anti-particle through a strong potential claiming Klein Paradox. The simulation technique used here inspires the quantum computing community for further studying Klein Gordon equation and applying it to more complicated quantum mechanical systems.

研究の動機と目的

• クライン-ゴルドン方程式、すなわち基礎的相対論的量子方程式のデジタル量子シミュレーションフレームワークを開発すること。
• 現実の量子プロセッサ上で、高いポテンシャル障壁を通過するトンネル効果であるクラインのパラドックスを観測すること。
• 近い将来の量子コンピュータを用いて、相対論的量子場理論現象をシミュレートする可能性を実証すること。
• スピンなしの粒子および反粒子ダイナミクスを含む量子シミュレーション技術を拡張すること。
• NISQ時代の量子ハードウェア上で量子場理論をシミュレートするためのスケーラブルなテンプレートを提供すること。

提案手法

• 波動関数 φ = [ϕ; χ] を用いた2成分波動関数により、クライン-ゴルドン方程式を連立1次方程式系に再定式化する。
• 時間発展演算子を分解するため、Suzuki-Trotter分解を用いてハミルトニアンを運動エネルギー項とポテンシャルエネルギー項に分解する。
• 運動エネルギー演算子はフーリエ変換を介して実装され、位置空間の運動量を運動量固有状態にマッピングする。
• 2キュービット格子（4点）に対して、j = 0 から 3 まで p_j の値を計算し、運動量固有値行列を構築する。
• 粒子の時間発展演算（ケースA）および反粒子の時間発展演算（ケースB）の2通りの量子回路を設計し、時間発展演算はパrameter t で制御する。
• シミュレーションはIBM Quantum Experienceのローカルシミュレータを用いて実行され、精度を高めるために6〜10回の回路反復が実施された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 現在の世代の量子コンピュータ上でクライン-ゴルドン方程式をデジタルにシミュレートできるか？
• RQ2 V > mc² の場合に粒子および反粒子がトンネル効果を示すクラインのパラドックスが再現されるか？
• RQ3 最小限のキュービットアーキテクチャを用いて、粒子および反粒子状態のダイナミクスを正確にモデル化できるか？
• RQ4 時間発展演算パrameter t の選択が、量子回路内のトンネル効果にどのように影響するか？
• RQ5 提案手法が、より高次元の格子やより複雑なポテンシャルへ一般化可能か？

主な発見

• V = 11 および mc² = 1 の条件下で、ケースAにおける粒子トンネル効果がシミュレーションで成功裏に観測され、クラインのパラドックスが確認された。
• t = 10 のとき、粒子状態は |00⟩ から |10⟩ に変化し、障壁を完全に通過したことが示された。
• 反粒子（ケースB）では、より高いポテンシャルにもかかわらず、t = 4 のとき |01⟩ から |11⟩ へのトンネル効果が観測され、反粒子の透過が確認された。
• トンネル過程中、|00⟩ と |10⟩ の等重ね合わせ状態（例：t = 6 のケースA）のようなコherentな重ね合わせ状態が観測された。
• 6〜10回の回路反復で安定した結果が得られ、反復回数を増やすことで精度が向上した。
• この手法はスケーラブルであり、N 個の格子点に対して n = log₂N 個のキュービットを用いるため、より大きな系への拡張が可能である。