[論文レビュー] Quantum state preparation by phase randomization

Sergio Boixo, Emanuel Knill+1 more|ArXiv.org|Mar 9, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、ハミルトニアン（またはユニタリ演算子）をランダムに選ばれた時間だけ作用させることで、目標となる量子状態を準備するための位相ランダム化手法を提案する。量子ゼノン効果を活用することで、望ましくない状態への遷移を抑制する。定数誤差のもとで平均的進化時間のスケーリングが最適な𝒪(L²/Δ)を達成し、従来の手法に比べ対数的改善を実現し、断熱的量子計算および量子シミュレーテッドアニーリングへの応用が可能である。

ABSTRACT

A computation in adiabatic quantum computing is implemented by traversing a path of nondegenerate eigenstates of a continuous family of Hamiltonians. We introduce a method that traverses a discretized form of the path: At each step we apply the instantaneous Hamiltonian for a random time. The resulting decoherence approximates a projective measurement onto the desired eigenstate, achieving a version of the quantum Zeno effect. If negative evolution times can be implemented with constant overhead, then the average absolute evolution time required by our method is O(L^2/Delta) for constant error probability, where L is the length of the path of eigenstates and Delta is the minimum spectral gap of the Hamiltonian. Making explicit the dependence on the path length is useful for cases where L does not depend on Delta. The complexity of our method has a logarithmic improvement over previous algorithms of this type. The same cost applies to the discrete-time case, where a family of unitary operators is given and each unitary and its inverse can be used. Restriction to positive evolution times incurs an error that decreases exponentially with the cost. Applications of this method to unstructured search and quantum sampling are considered. In particular, we discuss the quantum simulated annealing algorithm for solving combinatorial optimization problems. This algorithm provides a quadratic speed-up in the gap of the stochastic matrix over its classical counterpart implemented via Markov chain Monte Carlo.

研究の動機と目的

• ハミルトニアンパスの目標固有状態を、遅い断熱的遷移を要せずして準備する手法を開発すること。
• 断熱定理の制限を乗り越えるために、ランダム化を用いて有効な準位の分離を達成すること。
• スペクトルギャップΔとパス長Lに関して、進化時間における最適なスケーリングを達成すること。
• 離散的時間のユニタリ進化へとこの手法を拡張し、量子シミュレーテッドアニーリングへの応用を可能とすること。

提案手法

• 固有状態パスを離散化し、各ハミルトニアンを注意深く選んだ確率分布に従ってランダムな進化時間だけ作用させる。
• ランダム化により、目標状態と他の固有状態間の干渉を抑制し、量子ゼノン効果を模倣する。
• 確率分布は、望ましくない遷移を打ち消すように設計されており、結果として瞬間的固有状態への射影が有効に実現される。
• 逆方向の進化のため、回路の逆転を用いることで同じコストを達成し、最適なスケーリングを実現する。
• 連続的時間のハミルトニアン進化と離散的時間のユニタリ進化の両方へ適用可能であり、固有状態が既知である場合に限る。
• 固有状態の進化速度がほぼ一定になるようにパrametrizationを行うことで、パス長の依存性を最小限に抑える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムな進化時間によって、断熱的遷移よりも効率的に目標固有状態を準備するための量子ゼノン効果を活用できるか？
• RQ2 スペクトルギャップΔとパス長Lに関して、平均的進化時間の最適なスケーリングは何か？
• RQ3 逆方向の進化が正の時間に制限される場合、この手法はどのように動作するか？
• RQ4 この手法を離散的時間のユニタリ進化に拡張でき、量子シミュレーテッドアニーリングに応用できるか？
• RQ5 この手法の複雑度は、パス長Lと最小スペクトルギャップΔにどのように依存するか？

主な発見

• 定数誤差確率のもとで必要な平均絶対的進化時間は𝒪(L²/Δ)に比例し、スペクトルギャップΔに最適な依存性を示す。
• 従来のゼノンに基づくアルゴリズムに比べ、複雑度において対数的改善を達成する。
• 逆方向の進化が許可される場合、複雑度は𝒪(L²/Δ)であり、誤差に対数的要因がなく、正の時間に制限するとコストとともに指数的に減少する誤差が生じる。
• 解析的ハミルトニアンパスに対しては、高精度の位相推定を用いることで誤差εに対して対数的スケーリングを達成できる。
• 複雑度の上限は、ハミルトニアンの高階微分に依存せず、LとΔにのみ依存する。これは、既知の断熱定理を改善する。
• 連続的時間のハミルトニアン進化と離散的時間のユニタリ進化の両方へ適用可能であり、同じ複雑度スケーリングを示す。