[論文レビュー] Quantum Strategies and Local Operations

Gus Gutoski|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2010

Quantum Mechanics and Applications参考文献 58被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、入出力メッセージ空間上の正定値自己共役作用素として量子戦略を表現する、量子戦略のための新規な作用素形式を導入する。これにより、ゲーム価値の効率的計算が可能になり、量子暗号における証明の簡略化が図られる。完全に雑音の混入したチャネルの周囲に、共有ランダムネスを伴う局所的動作の球を確立し、共有エンタングルメントを伴う局所的動作の弱-membership問題が強くNP困難であることを証明するとともに、分離可能錐上の完全正値性によるノーサイニング作用素の特徴付けを行う。

ABSTRACT

This thesis is divided into two parts. In Part I we introduce a new formalism for quantum strategies, which specify the actions of one party in any multi-party interaction involving the exchange of multiple quantum messages among the parties. This formalism associates with each strategy a single positive semidefinite operator acting only upon the tensor product of the input and output message spaces for the strategy. We establish three fundamental properties of this new representation for quantum strategies and we list several applications, including a quantum version of von Neumann's celebrated 1928 Min-Max Theorem for zero-sum games and an efficient algorithm for computing the value of such a game. In Part II we establish several properties of a class of quantum operations that can be implemented locally with shared quantum entanglement or classical randomness. In particular, we establish the existence of a ball of local operations with shared randomness lying within the space spanned by the no-signaling operations and centred at the completely noisy channel. The existence of this ball is employed to prove that the weak membership problem for local operations with shared entanglement is strongly NP-hard. We also provide characterizations of local operations in terms of linear functionals that are positive and "completely" positive on a certain cone of Hermitian operators, under a natural notion of complete positivity appropriate to that cone. We end the thesis with a discussion of the properties of no-signaling quantum operations.

研究の動機と目的

• 複数参加者の量子相互作用の解析を簡略化する、新しい統一的フォーマルィズムを構築すること。
• 量子ゲーム理論および計算複雑性論への応用を想定し、出力確率および最大出力確率といった、量子戦略の基礎的性質を確立すること。
• 共有エンタングルメントを伴う局所的動作（LOSE）および共有ランダムネスを伴う局所的動作（LOSR）を特徴付け、弱-membership問題のNP困難性およびそのような操作の球の存在を証明すること。
• 分離可能錐上の完全正値性による新たな特徴付けを通じて、ノーサイニング量子作用素の構造を明確にすること。
• エンタングルメントの要件や局所的動作の球のサイズといった、量子情報における未解決問題に取り組むこと。

提案手法

• 入力・出力メッセージ空間のテンソル積上に作用する正定値自己共役作用素として量子戦略を表現し、統一的かつコンactなフォーマルィズムを実現する。
• 凸双対性および半定値計画法を用いて、最大出力確率や戦略集合の区別可能性といった性質を導出する。
• Yudin-Nemirovskiĭの定理を応用し、完全に雑音の混入したチャネルの周囲に存在するLOSR操作の球を通じて、LOSEの弱-membership問題をNP困難に還元する。
• ヘルミート作用素の分離可能錐に特化した完全正値性の概念を導入し、LOSEおよびLOSR操作を特徴付ける。
• 一部のノーサイニング作用素が共有エンタングルメントを伴う局所的動作によって実装可能でないことを示す具体的な例を構成する。
• 新規な戦略フォーマルィズムを活用し、Kitaevの強いコイントスの上限に関する既知の結果の証明を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子戦略は、入出力空間上に1つの正定値自己共役作用素として表現可能であり、この表現がどのような根本的性質を可能にするか？
• RQ2 共有ランダムネスを伴う局所的動作（LOSR）の集合のサイズと構造は何か？ また、完全に雑音の混入したチャネルの周囲に球が存在するか？
• RQ3 共有エンタングルメントを伴う局所的動作（LOSE）の弱-membership問題は強くNP困難か？ そのNP困難性を支えるLOSEの構造的性質は何か？
• RQ4 ノーサイニング作用素と共有エンタングルメントを伴う局所的動作の関係は何か？ また、分離可能錐上の完全正値性によって特徴付け可能か？
• RQ5 LOSE操作を近似する際のエンタングルメントコストは何か？ また、近似誤差および系のサイズに関して、必要なエンタングルメント次元を境界づけられるか？

主な発見

• 入出力空間上に1つの正定値自己共役作用素として量子戦略を表現する新規なフォーマルィズムを導入し、ゲーム価値の効率的計算と証明の簡略化を可能にする。
• ゼロサム量子ゲームの価値は、半定値計画法を用いて効率的に計算可能であり、これは量子領域におけるvon Neumannの最小最大定理の一般化である。
• 完全に雑音の混入したチャネルの周囲に、サイズΩ(2^{-m}n^{-3/2})の非正規化されたLOSR操作の球が存在し、これはLOSEの弱-membership問題が強くNP困難であることを示唆する。
• ノーサイニング作用素の空間は、共有エンタングルメントを伴う局所的動作の線形包と一致し、分離可能錐上の完全正値性によって特徴付けられる。
• LOSE操作の特徴付けには、特定の分離可能錐の族上で完全正値性を示す線形汎関数が関与し、完全正値性の概念が拡張される。
• このフォーマルィズムにより、強いコイントスにおけるKitaevの上限の証明が簡略化され、量子暗号プロトコル解析への広範な応用可能性が示唆される。