[論文レビュー] The Complexity of the Consistency and N-representability Problems for Quantum States

Liu, Yi-Kai|ArXiv.org|Dec 18, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 76被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、量子多体物理学における2つの基本的問題、局所密度行列の整合性とN-表現可能性の計算複雑性を確立する。凸最適化とメンバーーシップオракルに基づくオракル還元を用いて、両問題がQMA完全であることを証明し、局所ハミルトニアンフレームワークの外で初めてQMA完全問題を特定し、量子化学および量子情報理論における長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

QMA (Quantum Merlin-Arthur) is the quantum analogue of the class NP. There are a few QMA-complete problems, most notably the ``Local Hamiltonian'' problem introduced by Kitaev. In this dissertation we show some new QMA-complete problems. The first one is ``Consistency of Local Density Matrices'': given several density matrices describing different (constant-size) subsets of an n-qubit system, decide whether these are consistent with a single global state. This problem was first suggested by Aharonov. We show that it is QMA-complete, via an oracle reduction from Local Hamiltonian. This uses algorithms for convex optimization with a membership oracle, due to Yudin and Nemirovskii. Next we show that two problems from quantum chemistry, ``Fermionic Local Hamiltonian'' and ``N-representability,'' are QMA-complete. These problems arise in calculating the ground state energies of molecular systems. N-representability is a key component in recently developed numerical methods using the contracted Schrodinger equation. Although these problems have been studied since the 1960's, it is only recently that the theory of quantum computation has allowed us to properly characterize their complexity. Finally, we study some special cases of the Consistency problem, pertaining to 1-dimensional and ``stoquastic'' systems. We also give an alternative proof of a result due to Jaynes: whenever local density matrices are consistent, they are consistent with a Gibbs state.

研究の動機と目的

• アハルノフが提唱した、局所量子状態がグローバルな量子状態から導かれるかどうかを評価する目的で、局所密度行列の整合性問題の計算複雑性を特定すること。
• 縮約シュレーディンガー方程式のような量子化学的手法に不可欠なN-表現可能性問題の複雑性を特徴づけること。
• 局所ハミルトニアン問題を超えてQMA完全性の理解を拡張し、構造的に異なる新しいQMA完全問題を提供すること。
• 1次元およびストーキュスティック系などの特殊ケースを分析し、量子情報理論的手法を用いてジェインズの最大エントロピー原理を再導出すること。

提案手法

• ユディンとネミロフスキーが開発したメンバーーシップオラクルを用いた凸最適化アルゴリズムを活用し、局所ハミルトニアン問題から整合性問題へのオラクル還元を実施する。
• 局所密度行列をqubitの部分集合におけるパウリ演算子の期待値として表現し、グローバル密度行列における線形制約の集合として整合性条件を再定式化する。
• パウリ行列のヒルベルト＝シュミット内積における直交性を用いて、局所密度行列の整合性が、それぞれの部分集合におけるすべてのパウリ期待値が一致することと同値であることを証明する。
• 同じ還元フレームワークを応用し、フェルミオン系の局所ハミルトニアン問題およびN-表現可能性問題がQMA完全であることを示す。
• 双対性の議論と凸幾何学を用いて、局所密度行列が整合的であるならば、それらがギブス状態と整合的であることを示し、ジェインズの原理を回復する。
• 1次元およびストーキュスティック系を含む特殊クラスを分析するため、量子情報理論および量子複雑度理論の技術を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小さなqubit部分集合における局所密度行列の集合が、グローバルな量子状態と整合的かどうかを判定する問題は、計算的に困難であるか？
• RQ2 特にフェルミオン系において、量子化学におけるN-表現可能性問題の複雑性は何か？
• RQ3 整合性問題は、メンバーーシップオラクルを備えた凸最適化問題に還元可能か？ そして、QMAなどの複雑度クラスにどのような含意があるか？
• RQ4 局所ハミルトニアン問題と整合性問題の間で、マッピング還元などの代替還元が存在するか？
• RQ5 古典的PCP定理に類似した近似版において、局所ハミルトニアンのQMA完全性を拡張できるか？

主な発見

• 局所密度行列の整合性問題は、各部分集合が定数個のqubitを含む場合でさえQMA完全であることが示され、局所ハミルトニアン問題とは明確に異なる根本的なQMA完全問題として確立された。
• フェルミオン系におけるN-表現可能性問題はQMA完全であることが判明し、量子化学における長年の未解決問題を解決するとともに、縮約シュレーディンガー方程式に基づく現代の数値的手法の複雑性を裏付けた。
• フェルミオン系の局所ハミルトニアン問題もQMA完全であることが示され、量子複雑度理論の適用範囲をフェルミオン系多体系へ拡張した。
• 本稿は、ジェインズの最大エントロピー原理の新しい証明を提供する：局所密度行列が整合的である限り、それらはギブス状態と整合的である。この結果は、凸双対性およびパウリ行列の分解を用いて導出された。
• 1次元およびストーキュスティック系などの特殊ケースは、一般ケースと同等の複雑性を持つことが示されたが、最近の結果では、特定の条件下で平面的および1次元系に対してはPTASが存在する可能性があると示唆されている。
• 局所ハミルトニアン問題から整合性問題への還元は、メンバーーシップオラクルを用いた凸最適化に依存しており、このオラクルの精度要件は今後の研究における重要な未解決問題として特定された。