[論文レビュー] Quasi-local energy with respect to a static spacetime

Po-Ning Chen, Mu‐Tao Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、一般の静的参考時空に対して、アインシュタイン＝ヒルベルト作用から導かれた表面ハミルトニアンを用いて、時空に対する新しい準局所的エネルギー定義を提示する。恒等的等長埋め込みが臨界点であり、局所的にエネルギーを最小化することを証明し、特に摂動的ブラックホール時空において有用なゲージ不変な、参考幾何からのずれの測度を提供する。

ABSTRACT

This article considers the quasi-local energy in reference to a general static spacetime. We follow the approach developed by the authors in [19, 20, 7, 9] and define the quasi-local energy as a difference of surface Hamiltonians, which are derived from the Einstein-Hilbert action. The new quasi-local energy provides an effective gauge independent measurement of how far a spacetime deviates away from the reference static spacetime on a finitely extended region.

研究の動機と目的

• 一般の静的参考時空に対して、有限な時空領域におけるゲージ不変な準局所的エネルギーを定義すること。
• 従来のミンコフスキー、de Sitter/AdS 参考時空に基づく準局所的エネルギー枠組みを、任意の静的時空に拡張すること。
• 物理的時空が静的背景からどれほどずれているかを定量的に測るための指標を提供すること、特にブラックホール時空のような摂動的設定において特に有効である。
• エネルギー関数の幾何的および変分的性質を確立すること。特に、恒等的埋め込みの臨界定在性と局所的最小性を含む。

提案手法

• アインシュタイン＝ヒルベルト作用から表面ハミルトニアンを導出し、計量 $\check{g} = -V^2 dt^2 + g_{ij} dx^i dx^j$ を持つ静的時空を参考に用いる。
• 物理的時空と参考静的時空の間の表面ハミルトニアンの差として準局所的エネルギーを定義する。
• ヌル収束条件および静的ポテンシャル $V$ の性質を適用し、幾何的整合性と物理的妥当性を保証する。
• 表面 $\Sigma$ の参考時空への等長埋め込みを用いて、エネルギー関数の変動を計算する。
• 第一変分公式（定理 2.8）を適用し、最適な埋め込みを特徴づけ、臨界点の条件を導出する。
• 第二変分解析を用いて、安定性およびヌル収束仮定の下で恒等的埋め込みが局所的にエネルギーを最小化することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の静的参考時空に対して、定義が明確でゲージ不変な準局所的エネルギーを構築することは可能か？
• RQ2 静的時空への恒等的等長埋め込みは、準局所的エネルギー関数の臨界点か？
• RQ3 どのような幾何的条件下で恒等的埋め込みは局所的にエネルギーを最小化するか？
• RQ4 時空幾何の摂動に対して、準局所的エネルギーはどのように振る舞うか。特にブラックホール解の近傍でどうか？
• RQ5 静的ポテンシャル $V$ およびヌル収束条件は、エネルギー関数の安定性および正定値性にどのように寄与するか？

主な発見

• 恒等的等長埋め込みが参考静的時空に埋め込まれるとき、それが準局所的エネルギー関数の臨界点であることが定理 2.6 で証明された。
• 恒等的埋め込みに対して、準局所的エネルギーの第一変分が消えることが示され、臨界定在性が確認された（定理 2.8 で導出）。
• 参考時空がヌル収束条件を満たし、表面が $\nu(V) \geq 0$ を満たす安定な一定平均曲率（CMC）表面であれば、エネルギーの第二変分は非負となる（定理 4.4 で示された）。
• 同じ条件下で、恒等的埋め込みは局所的にエネルギーを最小化する。これにより、その配置が臨界解としての安定性が確立された。
• エネルギー関数は、表面の幾何と静的ポテンシャル $V$ のみに依存し、任意のゲージ選択には依存しない。
• 球対称な静的時空では、対称性の球面が安定な CMC 表面であり、$\nu(V) \geq 0$ であれば、無限小剛性でなくても局所的にエネルギーを最小化する。