[論文レビュー] Quasi-projectivity of the moduli space of smooth Kahler-Einstein Fano manifolds

Chi Li, Xiaowei Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 44被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、滑らかなケーラー・アインシュタインFano多様体のモジュライ空間の準射影的であることの証明を、その固有コンパクト化上のCM線バンドルに自然な連続ヘルミート計量を構成することによって達成する。この計量の曲率は、滑らかでない部分からも拡張される正の(1,1)-カレントであり、Weil-Petersson計量を拡張する。これにより、コンパクト化上でのCM線バンドルがネフかつビッグであり、滑らかな部分上ではアーマーであることが示され、Tianの予想が裏付けられる。

ABSTRACT

In this note, we prove that there is a canonical continuous Hermitian metric on the CM line bundle over the proper moduli space $\bar{\mathcal{M}}$ of smoothable Kahler-Einstein Fano varieties. The curvature of this metric is the Weil-Petersson current, which exists as a positive (1,1)-current on $\bar{\mathcal{M}}$ and extends the canonical Weil-Petersson current on the moduli space parametrizing smooth Kahler-Einstein Fano manifolds $\mathcal{M}$. As a consequence, we show that the CM line bundle is nef and big on $\bar{\mathcal{M}}$ and its restriction on $\mathcal{M}$ is ample.

研究の動機と目的

• 滑らかなケーラー・アインシュタインFano多様体のモジュライ空間の準射影的であることに関するTianの予想を解決すること。
• 固有モジュライコンパクト化 $\overline{\mathcal{M}}$ 上のCM線バンドルに自然な連続ヘルミート計量を構成すること。
• この計量の曲率が、滑らかな部分 $\overline{\mathcal{M}}^\circ$ からのWeil-Peterssonカレントを拡張する正の(1,1)-カレントであることを示すこと。
• コンパクト化 $\overline{\mathcal{M}}$ 上でCM線バンドルがネフかつビッグであり、${\mathcal{M}}$ 上での制限がアーマーであることを確立すること。
• 特異計量とデリーニペアリングを用いた微分幾何的アプローチにより、モジュライコンパクト化を扱うこと。

提案手法

• ケーラー・アインシュタインFano多様体の族上の相対的正則バンドルのデリーニペアリングに自然な連続ヘルミート計量 $h_{\rm DP}$ を構成すること。
• 部分 $C^0$-推定を用いて計量の崩壊を制御し、体積形式の一様可積分性を保証すること。
• 複素空間上のシュワルツ関数の理論を応用して、モジュライコンパクト化における特異性を扱うこと。
• Weil-Peterssonカレント $\omega_{\rm WP}$ を、$h_{\rm DP}$ の曲率として定義し、滑らかな部分での滑らかなWeil-Petersson計量を拡張すること。
• 曲率カレント $\omega_{\rm WP}$ が $\overline{{\mathcal{M}}}$ 全体で正の(1,1)かつ連続的であることを証明すること。
• 同変解消とトーリック座標を用いて、CM線バンドル $\lambda_{\rm CM}$ が $\overline{{\mathcal{M}}}$ 上の線バンドル $\Lambda_{\rm CM}$ に下方へ降下することを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかなケーラー・アインシュタインFano多様体のモジュライ空間は、正の曲率を持つ自然なヘルミート計量を備えているか？
• RQ2 滑らかな部分でのWeil-Peterssonカレントは、全コンパクト化モジュライ空間へ正の(1,1)-カレントとして拡張可能か？
• RQ3 コンパクト化モジュライ空間 $\overline{{\mathcal{M}}}$ 上のCM線バンドルはネフかつビッグか？
• RQ4 CM線バンドルの滑らかな部分 ${\mathcal{M}}$ への制限はアーマーか？
• RQ5 このような計量の存在が、${\mathcal{M}}$ の準射影的であることの帰結となるか？

主な発見

• CM線バンドル $\lambda_{\rm CM}$ は、固有モジュライコンパクト化 $\overline{{\mathcal{M}}}$ 上の線バンドル $\Lambda_{\rm CM}$ に下方へ降下する。
• 連続ヘルミート計量 $h_{\rm DP}$ が $\Lambda_{\rm CM}$ 上に存在し、その曲率が $\overline{{\mathcal{M}}}$ 上の正の(1,1)-カレント $\omega_{\rm WP}$ である。
• 曲率カレント $\omega_{\rm WP}$ は、滑らかな部分 ${\mathcal{M}}^\prime \subset {\mathcal{M}}$ からの自然なWeil-Peterssonカレント $\omega_{\rm WP}^\circ$ を拡張する。
• CM線バンドル $\Lambda_{\rm CM}$ は $\overline{{\mathcal{M}}}$ 上でネフかつビッグであり、${\mathcal{M}}$ 上への制限はアーマーである。
• 滑らかなケーラー・アインシュタインFano多様体のモジュライ空間 ${\mathcal{M}}$ は準射影的である。
• パrameter $t \to 0$ のとき、退化するファイバー上の体積形式の積分が一様にゼロに収束する。これは特異設定下での計量の可積分性を確認する。