[論文レビュー] Quasisymmetric sewing in rigged Teichmueller space

David Radnell, Eric Schippers|ArXiv.org|Jul 13, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、区間付きテイヒミュラー空間における擬対称な接着を厳密に定式化する枠組みを確立した。解析的境界パrametrizationを擬対称なものに一般化し、接着操作が全純であることを証明するとともに、穴あき型と境界型の区間付きモジュリ空間およびテイヒミュラー空間が全純同型であることを示した。主な貢献は、テイヒミュラー理論を用いて区間付きモジュリ空間に複素構造を構成し、任意の genus の曲面に対する共形場理論（CFT）の全純的定式化を可能にしたことである。

ABSTRACT

One of the basic geometric objects in conformal field theory (CFT) is the the moduli space of Riemann surfaces whose $n$ boundaries are ''rigged'' with analytic parametrizations. The fundamental operation is the sewing of such surfaces using the parametrizations to identify points. An alternative model is the moduli space of $n$-punctured Riemann surfaces together with local biholomorphic coordinates at the punctures. We refer to both of these moduli spaces as the "rigged Riemann moduli space". By generalizing to quasisymmetric boundary parametrizations, and defining rigged Teichmueller spaces in both the border and puncture pictures, we prove the following results: (1) The Teichmueller space of a genus-$g$ surface bordered by $n$ closed curves covers the rigged Riemann and rigged Teichmueller moduli spaces of surfaces of the same type, and induces complex manifold structures on them. (2) With this complex structure the sewing operation is holomorphic. (3) The border and puncture pictures of the rigged moduli and rigged Teichmueller spaces are biholomorphically equivalent. These results are necessary in rigorously defining CFT (in the sense of G. Segal), as well as for the construction of CFT from vertex operator algebras.

研究の動機と目的

• 解析的パラメータ化に限らない、擬対称境界パラメータ化を用いた区間付きリーマン面のモジュリ空間を厳密に定義し、従来の解析的構成を拡張すること。
• このような曲面における接着操作が全純であることを証明し、セガールの意味での共形場理論（CFT）の基礎的要件を満たすこと。
• 区間付きテイヒミュラー空間およびモジュリ空間の穴あき型と境界型の記述が、両者間で全純同型であることを確立し、長年の概念的ギャップを解消すること。
• テイヒミュラー空間と区間付き構造の役割を明確にすることで、頂点演算子代数からCFTを構成するための幾何学的・解析的基盤を提供すること。
• 境界付き曲面の古典的テイヒミュラー理論を、擬対称的区間付き構造を含む形に拡張し、新たな構造的洞察と全純ファイバー束の記述を可能にすること。

提案手法

• 擬対称写像を、擬コンformal写像の境界値として得られるものに一般化し、テイヒミュラー理論におけるより柔軟で自然な構成を可能にする。
• 境界（境界成分を伴う穴あき曲面）型と穴（穴における局所座標）型の両方のモデルで区間付きテイヒミュラー空間を定義し、それらが全純同型であることを証明する。
• 全純モーションとλ-補題を用いて、擬コンフォーマル写像の全純族を構成し、写像類群の作用を区間付き設定に拡張する。
• 境界付きテイヒミュラー空間 $T^B(g,n)$ から穴あき型の区間付きテイヒミュラー空間 $ ilde{T}^P(g,n)$ への全純射影を構成し、そのファイバーが $ ilde{ ho}_{ ext{qc}}^ riangle$ に同型であることを示し、$T^B$ が $ ilde{T}^P$ 上の全純ファイバー束であることを示す。
• 区間付き境界に沿った接着操作が、区間付きモジュリ空間上の拡張された複素構造を用いて全純であることを証明する。
• テイヒミュラー空間 $T^B(g,n)$ が、区間付きリーマンモジュリ空間および区間付きテイヒミュラー空間の両方を被覆しており、それらに自然な複素多様体構造を誘導することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解析的パラメータ化に代えて、擬対称境界パラメータ化を用いた場合、区間付きリーマン面における接着操作は全純であるか？
• RQ2 区間付きテイヒミュラー空間およびモジュリ空間の穴あき型と境界型の記述は、テイヒミュラー空間およびモジュリ空間の両レベルで全純同型であるか？
• RQ3 境界付き曲面のテイヒミュラー空間は、穴あき型の区間付きテイヒミュラー空間上に全純ファイバー束として自然に見なせるか？ そのファイバーは擬コンフォーマルな区間付きデータに対応するか？
• RQ4 擬対称的区間付き構造の使用により、$T^B(g,n)$ が区間付きモジュリ空間上に被覆する性質をより自然かつ一般化された枠組みで記述できるか？
• RQ5 区間付きモジュリ空間上の複素構造は一貫して定義可能であり、それを用いて高 genus のCFTを構成できるか？ これは Huang らの genus 0 の結果を一般化するか？

主な発見

• 区間付きリーマンモジュリ空間および区間付きテイヒミュラー空間は、写像類群の離散部分群による商をとることで、無限次元テイヒミュラー空間 $T^B(g,n)$ からの自然な複素構造を引き継ぐ。
• 擬対称的区間付き曲面における接着操作は、定理 6.7 で示されたように全純である。これは、CFTの幾何的定式化における主要な未解決問題を解決した。
• 穴あき型と境界型の区間付きテイヒミュラー空間は全純同型である。これは、区間付き曲面の2つの基本的記述の深い構造的同等性を確立する。
• 境界付き曲面のテイヒミュラー空間 $T^B(g,n)$ は、穴あき型の区間付きテイヒミュラー空間 $ ilde{T}^P(g,n)$ 上の全純ファイバー束であり、ファイバーは $ ilde{ ho}_{ ext{qc}}^ riangle$ に同型である。
• 射影 $T^B(g,n) \to \tilde{T}^P(g,n)$ は全純であり、局所的に $T^P \times \tilde{\rho}_{\text{qc}}^\triangle$ と全純同型である。これは局所的な全純自明化を提供する。
• 本研究の結果により、穴あき型と境界型のモデルを統合する可換図式（図 5.10）が得られ、CFTおよび弦理論の構成に一貫した枠組みが提供された。