[論文レビュー] Random walks on $\mathrm{Homeo}(S^1)$

Dominique Malicet|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、駆動測度 $\nu$ に対して不変確率測度が存在しないという唯一の条件下で、円周の同相写像の群 $\mathrm{Homeo}(S^1)$ 上の無作為ウォークが、ほとんど確実に小さな区間を収縮することを確立している。収縮は滑らかさの仮定がなくても指数関数的に起こり、証明は円被覆上の連続コサイクルのためのアヴィラ＝ヴァイアナの不変性原理の修正版に依拠している。この結果は、より強い正則性条件や構造的制約を要する先行研究を一般化するものである。

ABSTRACT

In this paper, we study random walks $g_n=f_{n-1}\cdots f_0$ on the group $\mathrm{Homeo}(S^1)$ of the homeomorphisms of the circle, where the homeomorphisms $f_k$ are chosen randomly, independently, with respect to a same probability measure $ν$. We prove that under the only condition that there is no probability measure invariant by $ν$-almost every homeomorphism, the random walk almost surely contracts small intervals. It generalizes what has been known on this subject until now, since various conditions on $ν$ were imposed in order to get the phenomenon of contractions. Moreover, we obtain the surprising fact that the rate of contraction is exponential, even in the lack of assumptions of smoothness on the $f_k$'s. We deduce next various dynamical consequences on the random walk $(g_n)$: finiteness of ergodic stationary measures, distribution of the trajectories, asymptotic law of the evaluations, etc. The proof of the main result is based on a modification of the Ávila-Viana's invariance principle, working for continuous cocycles on a space fibred in circles.

研究の動機と目的

• 円周同相写像の無作為合成の長期的力学的挙動を理解すること。
• このような無作為ウォークが区間収縮を示すために必要な最小条件を特定すること。
• 滑らかさや追加の構造的仮定がなくとも、収縮率が指数的であることを確立すること。
• アントノフの同期化結果を、最小性や有限生成性の仮定を除去することで一般化すること。
• 静止測度の有限性や軌道の漸近的法則といった力学的帰結を導出すること。

提案手法

• 円被覆上の連続コサイクルに適応したアヴィラ＝ヴァイアナの不変性原理の応用。
• 円周上の確率的および位相的議論を通じたリャプノフ指数構造の分析。
• 生成子の $C^0$-摂動が小さい場合の収縮性質の安定性を示す摂動技法の使用。
• 不変測度の不在が、矛盾による証明法を用いて、ほとんど確実な区間収縮を示すこと。
• 修正された不変性原理を適用し、無作為ウォークの作用が小さな集合上で一様に収縮することを示すこと。
• 静止測度および経験的測度の弱収束の分析を通じて、エルゴード的および漸近的性質の確立。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無作為ウォークが $\mathrm{Homeo}(S^1)$ 上で、ほとんど確実に小さな区間を収縮するための最小条件は何か？
• RQ2 同相写像が $C^1$ よりも滑らかでない場合でも、指数的収縮率を確立できるか？
• RQ3 駆動測度 $\nu$ が不変確率測度を保たない場合、力学的挙動はどのように変化するか？
• RQ4 共通の不変測度が存在しない場合、無作為ウォークにおける静止測度の数と性質にどのような影響があるか？
• RQ5 アントノフの同期化結果は、有限性・最小性・対称的生成集合の仮定を越えて、どの程度一般化可能か？

主な発見

• 無作為ウォークが $\mathrm{Homeo}(S^1)$ 上でほとんど確実に区間を収縮するのは、$\nu$ に対して不変確率測度が存在しない場合に限り、滑らかさの仮定が一切不要である。
• 同相写像が連続である場合でも、収縮率は指数的であり、これは驚きであり、画期的な結果である。
• エルゴードな静止確率測度の数は有限であり、実際、円周から有限個の点を除いた部分に台を持つ一意なエルゴード静止測度が存在する。
• 初期点 $x_0 \in (0,1)$ に対して、経験的測度 $\mu_{N,\omega}$ は弱収束し、その極限は半群に関して不変でないため、ほとんど確実に負のリャプノフ指数を持つ。
• 無作為ウォークは同期化を示す：任意の2つの異なる点に対して、それらの軌道間の距離はほとんど確実に0に近づく。
• 収縮性質は生成子の小規模な $C^0$-摂動に対しても安定しており、区間のほとんど確実な収縮が保たれる。