[論文レビュー] Ranks of elliptic curves over Z_p^2-extensions

Antonio Lei, Florian Sprung|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、p を奇素数とし、K において分解するものとし、E が p で良い還元を持つ虚二次体 K の ℤₚ²-拡大の有限層上における楕円曲線 E の Mordell-Weil ランクに対して、O(pⁿ) の上界を確立する。著者らは、Coleman 写像、Iwasawa コhomology、および微細 Selmer 群の制御定理を組み合わせた新規な手法を構築し、標準的な制御定理が失敗する困難な上昇特異な場合でさえもランク増大を制御する。

ABSTRACT

Let $E$ be an elliptic curve with good reduction at a fixed odd prime $p$ and $K$ an imaginary quadratic field where $p$ splits. We give a growth estimate for the Mordell-Weil rank of $E$ over finite extensions inside the $\mathbb{Z}_p^2$-extension of $K$.

研究の動機と目的

• 虚二次体 K の ℤₚ²-拡大の有限層上における楕円曲線 E の Mordell-Weil ランクの増大を理解すること。
• 既知の ℤₚ-拡大におけるランク増大結果を、特に上昇特異な場合に二次元的 ℤₚ²-設定へと拡張すること。
• 一般の制御定理が上昇特異な場合に存在しないにもかかわらず、すべての層に対して一様に O(pⁿ) のランク増大上界を確立すること。
• Coleman 写像とグローバル Iwasawa コホモロジーを組み合わせた新規な手法を用いて、Selmer 群から微細 Selmer 群への商写像の核を制御すること。

提案手法

• 上昇特異な場合に古典的制御定理を必要としないように、微細 Selmer 群の双対に対する一般化された制御定理を Coleman 写像を用いて構築する。
• Harris の増大補題を適用して、微細 Selmer 群双対の ℤₚ-ランクを評価し、問題を商写像の核の制御に還元する。
• 無限レベルにおける Iwasawa コホモロジーのガロア固定部分空間を介して、局所核 𝒀ₙ を制御するグローバルな Selmer 型群 𝒀′ₙ を導入する。
• Cuoco と Monsky の補題を用いて局所モジュールを同型的成分に分解し、各成分がランク c(pⁿ⁺¹ − pⁿ) を寄与することを示す（c ∈ {0,1,2}）。
• Coleman 行列式の p-進付値の差を解析し、消滅しない行列式が相異なる付値を持つことを示し、消滅する特性の有界性を可能にする。
• 行列式が消える特性 θ の有界性を用いて、n における和算を通じて 𝒀′ₙ の増大を制御し、O(pⁿ) の増大を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 虚二次体 K の ℤₚ²-拡大の有限層上における楕円曲線の Mordell-Weil ランクの漸近的増大率は何か？
• RQ2 古典的制御定理が失敗する上昇特異な場合に、Mordell-Weil ランクを有界化することは可能か？
• RQ3 微細 Selmer 群およびその双対の構造は、グローバル Iwasawa コホモロジーおよび Coleman 写像とどのように関係するか？
• RQ4 Coleman 行列式の p-進付値は、消滅する特性の数を制御し、結果としてランク増大にどのように寄与するか？

主な発見

• K の n 番目の層 Kₙ における E の Mordell-Weil ランクは、rank E(Kₙ) = O(pⁿ) を満たし、二次元的増大数を確立する。
• Selmer 群双対から微細 Selmer 群双対への商写像の核 𝒀′ₙ の ℤₚ-ランクは、消える特性の制御により O(pⁿ) で有界である。
• 導手 𝔪ₙ の特性 θ で Coleman 行列式が消えるものの数は、n に依存せず一様に有界であり、和が収束することを保証する。
• p ∣ aₚ ≠ 0 の上昇特異な場合、一般の制御定理が存在しないが、Coleman 写像と行列式の付値解析によりこれを回避する。
• 重要な行列式式の p-進付値の差は、分母に p+1 を持つため非ゼロであり、相異なる付値を持つことを保証し、有界性の議論を可能にする。
• 最終的な 𝒀′ₙ のランクの上界は、消える特性の数の一様有界性を用いて n における和算により得られ、O(pⁿ) の増大が導かれる。