[論文レビュー] On the Iwasawa main conjectures for modular forms at non-ordinary primes

Francesc Castella, Mirela Çiperiani+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 51被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、平方自由なレベル条件の下で、虚二次体上の2変数Iwasawa理論と非正規的コントロールを用いて、重さ2のモジュラー形式について、非正規的素数におけるIwasawa主予想を証明する。主な結果は、符号付きセレマー群と符号付きp進L関数の特性イデアルの等式を確立し、これによりこれらの形式の超特異設定におけるKatoの主予想を確認する。

ABSTRACT

In this paper, we prove under mild hypotheses the Iwasawa main conjectures of Lei--Loeffler--Zerbes for modular forms of weight $2$ at non-ordinary primes. Our proof is based on the study of the two-variable analogues of these conjectures formulated by Büyükboduk--Lei for imaginary quadratic fields in which $p$ splits, and on anticyclotomic Iwasawa theory. As application of our results, we deduce the $p$-part of the Birch and Swinnerton-Dyer formula in analytic ranks $0$ or $1$ for abelian varieties over $\mathbb{Q}$ of ${ m GL}_2$-type for non-ordinary primes $p>2$.

研究の動機と目的

• 重さ2のモジュラー形式について、非正規的素数における超特異設定におけるIwasawa主予想を確立すること。
• 符号付きColeman写像と符号付きセレマー群の枠組みを、虚二次体上の2変数設定に拡張すること。
• 符号付きセレマー群と符号付きp進L関数の間の特性イデアルの等式を証明し、これにより非正規的状況におけるKatoの主予想を検証すること。
• Q上のGL₂型アーベル多様体について、非正規的素数におけるp部のBirchとSwinnerton-Dyer公式を導出すること。

提案手法

• pが分解する虚二次体上の2変数Iwasawa理論を用い、符号付きBeilinson–Flach類を構成し、明示的双対性法則を確立する。
• 符号付きColeman写像と符号付き対数写像を用いて、二重符号付きセレマー群を定義し、その構造を円分Zp拡大上で制御する。
• 非正規的コントロール理論を用い、符号付きHeegner点とtheta要素を含むことで、p進L関数とセレマー群を関連付ける。
• p進L関数の補間性質と双対性定理を用いて、2変数設定における特性イデアルの等式の鎖を確立する。
• Katoのオイラー系の結果とLei–Loeffler–Zerbesの研究を応用し、主予想を可除性に関する命題に還元する。
• 符号付きセレマー群のねじれ性とp進L関数の非消滅性を用いて、加群論的議論とIwasawa加群の構造定理によりイデアルの等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重さ2のモジュラー形式について、非正規的素数におけるIwasawa主予想は超特異状況でも成立するか？
• RQ2 符号付き主予想は、pが分解する虚二次体上の2変数設定に拡張可能か？
• RQ3 符号付きセレマー群の特性イデアルは、対応する符号付きp進L関数によって生成されるイデアルと等しいか？
• RQ4 特性イデアルの等式は、Q上のGL₂型アーベル多様体について、非正規的素数におけるp部のBirchとSwinnerton-Dyer公式を意味するか？
• RQ5 非正規的コントロール理論の枠組みを用いて、符号付き主予想における逆可除性を証明できるか？

主な発見

• 本稿は、平方自由なレベルと非正規的素数p > 2を持つ新形式fについて、符号付きセレマー群Sel^•(Q, A^cyc)がO_L[[Γ^cyc]]-ねじれであることを証明する。
• 各符号• ∈ {♯,♭}に対して、L_p^•(f/Q) ≠ 0である限り、O_L[[Γ^cyc]]におけるイデアルの等式 Char_{O_L[[Γ^cyc]]}(Sel^•(Q, A^cyc)^∨) = (L_p^•(f/Q)) が成立する。
• この結果により、fの超特異設定におけるKatoの主予想が確認され、このような形式のIwasawa主予想の証明が完全に完成する。
• 本稿は、Q上のGL₂型アーベル多様体について、解析的階数が0または1である非正規的素数におけるp部のBirchとSwinnerton-Dyer公式を導出する。
• 2変数の議論を用いて、非正規的Zp拡大上での符号付きセレマー群の特性イデアルが符号付きp進L関数によって生成されることを示す。
• 証明は、Rohrlichの研究によって保証される少なくとも1つの符号付きp進L関数の非消滅性に依拠し、Iwasawa加群の構造を用いてイデアルの等式を結論づける。