[論文レビュー] Real-frequency quantum field theory applied to the single-impurity Anderson model

Anxiang Ge, Nepomuk Ritz+4 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2023

Physics of Superconductivity and Magnetism参考文献 118被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、Keldysh形式を用いた実周波数量子場理論フレームワークを導入し、単一インパルティーアンダーソン模型における動的相関関数を計算する。1ループ関数的自己縮約化群（fRG）と、4点頂点の完全な3周波数依存性を有する自己無撞着パラケツ方程式を用いることで、従来のfRG手法に比べ顕著な精度向上が達成され、特に弱〜中程度の結合領域（u < 1）で数値的正確なNRGベンチマークと最も一致する結果を得た。

ABSTRACT

A major challenge in the field of correlated electrons is the computation of dynamical correlation functions. For comparisons with experiment, one is interested in their real-frequency dependence. This is difficult to compute, as imaginary-frequency data from the Matsubara formalism require analytic continuation, a numerically ill-posed problem. Here, we apply quantum field theory to the single-impurity Anderson model (AM), using the Keldysh instead of the Matsubara formalism with direct access to the self-energy and dynamical susceptibilities on the real-frequency axis. We present results from the functional renormalization group (fRG) at one-loop level and from solving the self-consistent parquet equations in the parquet approximation. In contrast to previous Keldysh fRG works, we employ a parametrization of the four-point vertex which captures its full dependence on three real-frequency arguments. We compare our results to benchmark data obtained with the numerical renormalization group and to second-order perturbation theory. We find that capturing the full frequency dependence of the four-point vertex significantly improves the fRG results compared to previous implementations, and that solving the parquet equations yields the best agreement with the NRG benchmark data, but is only feasible up to moderate interaction strengths. Our methodical advances pave the way for treating more complicated models in the future.

研究の動機と目的

• 関連電子系における虚周波数から実周波数への解析的継続の数値的不安定性を克服すること。
• マツバラ形式に依存せずに、直接自己エネルギーおよび動的磁化率を計算できる実周波数量子場理論フレームワークの構築。
• 非摂動的領域において、4点頂点の3周波数依存性を完全に考慮した2粒子相関関数の高精度計算を可能とすること。
• Keldysh fRGおよびパラケツ法の性能を、単一インパルティーアンダーソン模型における数値的正確なNRGデータと比較してベンチマークすること。
• これらの手法を、実周波数2粒子頂点を有する動的平均場理論に拡張する基盤を確立すること。

提案手法

• 実周波数相関関数を直接得るために、マツバラ形式の代わりにKeldysh形式を用いる。
• 4点頂点を3つの独立した実周波数変数に依存する完全なパrametrizationで扱う1ループ関数的自己縮約化群（fRG）フローを適用する。
• 固定点反復法にアンドリュースケーリングを組み合わせ、部分的更新安定化を施したパラケツ近似（PA）における自己無撞着パラケツ方程式を解く。
• fRGフロー方程式のための適応的ルンゲ＝クッタ統合を誤差制御とともに実装し、効率的なステップサイズ制御のための再パラメータ化されたフロー変数 $\Lambda(t)$ を用いる。
• 自己エネルギーおよび4点頂点関数のベンチマークとして、特に静的磁化率およびスペクトル関数に対して、数値的正確なNRGデータを用いる。
• 自己エネルギーには最大401点、4点頂点の3周波数 $K_3$ 成分には101点の周波数グリッドを用い、Keldysh形式とマツバラ形式の結果を比較することで収束性を検証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4点頂点の完全な3周波数依存性を有するKeldysh fRG手法は、簡略化された頂点パラメータ化を用いた従来の実装を上回る性能を示すか？
• RQ2 fRGおよびパラケツ法を用いた実周波数における自己エネルギーおよび動的磁化率の計算精度は、数値的正確なNRGデータと比較してどの程度高いか？
• RQ3 実周波数頂点の完全な周波数依存性を有する状況で、パラケツ近似におけるパラケツ方程式の解法の有効範囲は何か？
• RQ4 4点頂点の完全な周波数依存性を捉えることで、単一インパルティーアンダーソン模型におけるfRG結果の精度はどの程度向上するか？
• RQ5 現在の計算リソースおよび最適化技術を用いて、3次元周波数依存頂点の保存および計算の計算コストを管理可能か？

主な発見

• Keldysh fRGにおける4点頂点の完全な3周波数パラメータ化は、近似された頂点依存性を用いた従来のfRG実装に比べ、顕著な精度向上をもたらした。
• パラケツ近似におけるパラケツ方程式の解法は、NRGベンチマークデータと最も一致し、特に弱〜中程度の結合領域（u < 1）で顕著であった。
• パラケツソルバーは中程度の相互作用強度まで信頼性を持って収束するが、$u \text{ 略 } \textless 1$ の場合に $N_{K_3} = 101$ 周波数点を必要とし、より高い $u$ では収束に失敗する。
• 計算コストは $\mathcal{O}(N_{K_3}^3)$ のスケーリングを示し、$N_{K_3} = 101$ および150反復の状況で、32ノード（1024スレッド）で約2日間の最長計算時間を要した。
• Keldysh形式とマツバラ形式の静的磁化率の一致が1‰以内で確認され、数値的フレームワークの妥当性が裏付けられた。
• 適応的ステップサイズ制御および再パラメータ化されたフロー変数 $\Lambda(t)$ の使用により、fRG統合が安定的かつ高精度に行われ、相対誤差許容誤差は $10^{-6}$ であった。