[論文レビュー] Recent Development on the Geometry of the Teichmuller and Moduli Spaces of Riemann Surfaces and Polarized Calabi-Yau Manifolds

Kefeng Liu, Xiaofeng Sun+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

本論文は、リーマン面および偏極付きカラビ＝ヤウ多様体のテイヒミュラー空間とモジュライ空間の微分幾何および代数幾何における最新の進展を提示する。本研究では、偏極付きカラビ＝ヤウ多様体およびハイパーカラビ＝ヤウ多様体のテイヒミュラー空間に対して、グローバルトーリー定理を確立し、グローバルな正則平坦接続の存在を証明し、ホロモルフィック埋め込みをユークリッド空間へ行うことを示した。さらに、曲率推定とヤウによるカラビ予想の解決を用いて、ホッジ完備化上の一意なケーラー＝アインシュタイン計量の存在を示した。

ABSTRACT

We survey our recent new results on the geometry of Teichmuller and moduli spaces of Riemann surfaces and Calabi-Yau manifolds.

研究の動機と目的

• 偏極付きカラビ＝ヤウ多様体およびハイパーカラビ＝ヤウ多様体のテイヒミュラー空間に対するグローバルトーリー定理の確立。
• 偏極付きカラビ＝ヤウ多様体のテイヒミュラー空間上でのグローバルな正則平坦接続の存在の証明。
• 偏極付きカラビ＝ヤウ多様体のテイヒミュラー空間がユークリッド空間へのホロモルフィック埋め込みであることを示すこと。
• 偏極付きカラビ＝ヤウ多様体のテイヒミュラー空間のホッジ完備化上に一意なケーラー＝アインシュタイン計量が存在することを示すこと。
• モジュライ空間およびテイヒミュラー空間上での、ウェイリ＝ピーターソン計量、リッチ計量、摂動付きリッチ計量、ケーラー＝アインシュタイン計量などの標準計量の曲率および有界幾何学的性質の分析。

提案手法

• 変形の下で偏極付きカラビ＝ヤウ計量のケーラー形式の不変性を用いて、テイヒミュラー空間からベルトラミー微分の空間への正則写像を構成する。
• ヤウによるカラビ予想の解決を応用し、周期写像の部分的グローバル横断性を証明することで、グローバルな正則平坦接続の構成を可能にする。
• ホロモルフィック体積形式とケーラー計量の関係を保証するカラビ＝ヤウ方程式 $ c_n \Omega_p \wedge \overline{\Omega}_p = \omega_p^n $ を用いる。変形の下でコホホロジー類が比例しないことを保証する。
• モジュライ空間上の接束と余接束を関係付けるために、コーデイラ＝スペンサー同型 $ T_p^{1,0}\mathcal{M}_g \cong H^1(X_p, T_{X_p}^{1,0}) $ とセール双対性を用いる。
• ウェイリ＝ピーターソン計量、リッチ計量、摂動付きリッチ計量の曲率推定および漸近的解析を用いて、これらの計量の有界幾何学的性質を確立する。
• テイヒミュラー空間のホッジ完備化とハリッシュ＝チャンドラ実現を活用し、完備化とホッジ構造の分類空間との間の正則同型写像を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偏極付きカラビ＝ヤウ多様体のテイヒミュラー空間からホッジ構造の分類空間への周期写像は、グローバルに一意的か？
• RQ2 偏極付きカラビ＝ヤウ多様体のテイヒミュラー空間上にグローバルな正則平坦接続を構成できるか？
• RQ3 偏極付きカラビ＝ヤウ多様体のテイヒミュラー空間は、ユークリッド空間へのホロモルフィック埋め込みが可能か？
• RQ4 偏極付きカラビ＝ヤウ多様体のテイヒミュラー空間のホッジ完備化上に一意なケーラー＝アインシュタイン計量が存在するか？
• RQ5 モジュライ空間およびテイヒミュラー空間上でのウェイリ＝ピーターソン計量、リッチ計量、摂動付きリッチ計量、ケーラー＝アインシュタイン計量の曲率および有界幾何学的性質は何か？

主な発見

• 偏極付きカラビ＝ヤウ多様体のテイヒミュラー空間に対してグローバルトーリー定理が成立する：周期写像は単射であり、複素構造がそのホッジ構造によって一意に決定されることを示唆する。
• 偏極付きカラビ＝ヤウ多様体のテイヒミュラー空間は、グローバルな正則平坦接続を備えており、この空間にアフィン構造が存在することを示した。
• 偏極付きカラビ＝ヤウ多様体のテイヒミュラー空間は、同じ次元のユークリッド空間へのホロモルフィック埋め込みが可能であり、そのホッジ完備化は正則関数の定義域である。
• 偏極付きカラビ＝ヤウ多様体のテイヒミュラー空間のホッジ完備化上には一意なケーラー＝アインシュタイン計量が存在する。
• モジュライ空間上でのリッチ計量および摂動付きリッチ計量は自然に負であり、有界幾何学的性質を示す。曲率推定はカラビ＝ヤウ方程式およびヤウによるカラビ予想の解決から導かれる。
• ウェイリ＝ピーターソン計量はケーラー的であり、その正則断面曲率は、種数にのみ依存する負の定数によって上から有界である。これはロイデンのリッチ曲率の負性に関する予想を裏付けた。