[論文レビュー] Reductions of Dynamics on Second Iterated Bundles of Lie Groups

Oùgul Esen, Hasan Gümral|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2015

Advanced Differential Geometry Research参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、第一種の微分同相を用いて、リー群の2重反復バンドル上でのハミルトニアンおよびラグランジュ力学の体系的枠組みを構築する。この枠組みは、持ち上げられた群構造を保つ。シンプレクティックおよびポワンソール還元を用いて、$^{1}TT^*G$、$^{1}T^*TG$、$^{1}T^*T^*G$ などの空間上で、縮約された力学—特にオイラー＝ピオンカレ方程式およびリー＝ポワンソール方程式—を導出する。これにより、リー群バンドル上の高次元力学およびシンプレクティック構造の統一的取り扱いが可能になる。

ABSTRACT

We consider trivializations of second iterated bundles of a Lie group that preserve lifted group structures. With such a trivialization, we elaborate Hamiltonian dynamics on cotangent, Lagrangian dynamics on tangent bundles and, both Hamiltonian and Lagrangian dynamics on Tulczyjew's symplectic space which is tangent of cotangent bundle of Lie group. We present all possible Poisson, symplectic and Lagrangian reductions of spaces and corresponding dynamics on them. In particular, reduction of Lagrangian dynamics on second iterated tangent bundle includes reduction of dynamics on second order tangent bundle.

研究の動機と目的

• 第一種の微分同相を用いて、半直積および群構造を保つ枠組みを構築し、リー群の2重反復バンドル上でのハミルトニアンおよびラグランジュ力学を一貫して定式化すること。
• シンプレクティックおよびポワンソール還元を用いて、リー群の接バンドルおよび余接バンドル上で、具体的にはオイラー＝ピオンカレ方程式およびリー＝ポワンソール方程式を導出すること。
• 微分同相による構造を用いて、$^{1}TTG$ および $^{1}TT^*G$ 上の構造を通じて、$T^2G$ 上の第二階微分方程式を含む高次元力学を統一的に取り扱うこと。
• タルツチエフのシンプレクティック構造が、$^{1}TT^*G$ 上に存在し、ハミルトニアンおよびラグランジュ力学の両方を可能にするとともに、複数の還元経路を提供することの役割を確立すること。
• 群作用および持ち上げられた構造を用いて、反復バンドル上での高次元シンプレクティックおよびラグランジュ系の還元技法を一般化すること。

提案手法

• 第一種の微分同相を用いて、$TG$ および $T^*G$ を半直積 $G\circledS\mathfrak{g}$ および $G\circledS\mathfrak{g}^*$ と同一視し、群構造およびリー代数的構造を保つ。
• 反復バンドル $T(G\circledS\mathfrak{g})$、$T(G\circledS\mathfrak{g}^*)$、$T^*(G\circledS\mathfrak{g})$、$T^*(G\circledS\mathfrak{g}^*)$ を、リー代数およびその双対との半直積として微分同相化する。
• 標準的シンプレクティック形式および群作用を用いて、$^{1}TTG$、$^{1}TT^*G$、$^{1}T^*TG$、$^{1}T^*T^*G$ 上で微分同相化されたオイラー＝ラグランジュ方程式およびハミルトンの運動方程式を導出する。
• 群 $G$、$π$、およびそれらの半直積の作用を通じてシンプレクティックおよびポワンソール還元を適用し、商空間上での縮約された力学を得る。
• $^{1}TT^*G$ 上のタルツチエフのシンプレクティック構造に、2つの可能な1次形式 $\theta_1$ および $\theta_2$ を用いてハミルトニアン力学を定義し、縮約された方程式を導出する。
• 写像 $T^2G \to TTG$ を用いて、$G\circledS(\mathfrak{g}\times\mathfrak{g})$ 上で第二階のオイラー＝ラグランジュ方程式および $2\mathfrak{g}$ 上で第二階のオイラー＝ピオンカレ方程式を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第一種の微分同相を用いて、持ち上げられた群構造を保つ枠組みを用いて、リー群の2重反復バンドル上でのハミルトニアンおよびラグランジュ力学を一貫して定式化する方法は何か？
• RQ2 シンプレクティックおよびポワンソール還元を用いて、$^{1}TT^*G$、$^{1}T^*TG$、$^{1}T^*T^*G$ 上での縮約された力学—特にオイラー＝ピオンカレ方程式およびリー＝ポワンソール方程式—は何か？
• RQ3 タルツチエフのシンプレクティック構造が、$^{1}TT^*G$ 上に存在する場合、ハミルトニアンおよびラグランジュ力学の両方をどのように支援するか。また、その群作用の対称性から生じる還元は何か？
• RQ4 $T^2G$ 上の第二階力学と、$^{1}TTG$ および $^{1}TT^*G$ 上の微分同相化された力学との関係は何か？
• RQ5 この枠組みは、持ち上げられたシンプレクティック構造を有するシンプレクティック多様体の接バンドルのシンプレクティック還元に一般化可能か？

主な発見

• 微分同相化されたオイラー＝ラグランジュ方程式は、$^{1}TTG \simeq (G\circledS\mathfrak{g})\circledS(\mathfrak{g}\circledS\mathfrak{g})$ 上で、$TTG$ への埋め込みを通じて $T^2G$ 上の第二階力学を導出する。
• $^{1}TT^*G$ 上の $G$-作用による還元により、ポワンソール還元空間 $\mathfrak{g}\circledS(\mathfrak{g}^*\times\mathfrak{g}^*)$ が得られ、シンプレクティック葉は $\mathcal{O}_\lambda \times \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}^*$ となる。
• $^{1}T^*TG$ 上のハミルトン方程式は、$\mathfrak{g}^*\times\mathfrak{g}^*$ 上の積ポワンソール構造とは異なる、$\mathfrak{g}\circledS(\mathfrak{g}^*\times\mathfrak{g}^*)$ 上のリー＝ポワンソール構造を導く。
• $^{1}T^*T^*G$ 上、$G\circledS\mathfrak{g}^*$ によるシンプレクティック還元により、$\mathfrak{g}^*\circledS(\mathfrak{g}^*\times\mathfrak{g})$ 上のリー＝ポワンソール構造が得られ、シンプレクティック葉は $\mathcal{O}_\lambda \times \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}^*$ となる。
• タルツチエフのシンプレクティック形式を用いた $^{1}TT^*G$ 上のハミルトニアン力学は、2つの可能な1次形式 $\theta_1$ および $\theta_2$ を許容し、力学の二重定式化を可能にする。
• $^{1}TT^*G$ 上でのラグランジュ還元は、$G$、$\mathfrak{g}_1^*$、$G\circledS\mathfrak{g}_1^*$ による作用を通じて、それぞれ $\mathfrak{g}_1^*\circledS(\mathfrak{g}_2\times\mathfrak{g}_3^*)$、$G\circledS(\mathfrak{g}_2\times\mathfrak{g}_3^*)$、$\mathfrak{g}_2\circledS\mathfrak{g}_3^*$ 上の還元方程式を導く。