[論文レビュー] Regular Maximal Monotone Multifunctions and Enlargements

Andrei Verona, Maria Elena Verona|ArXiv.org|Jun 8, 2008

Optimization and Variational Analysis参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、最近の和定理の結果を用いて、一般のバナッハ空間における正則な最大単調多重関数の新しい特徴づけを確立する。その結果、このような作用素が正則であるための必要十分条件は、任意の有界な最大単調多重関数との和が最大単調であることである。さらに、二種類の拡大の定義域を特徴づける。一つ目は、$ T^\varepsilon $ の定義域が $ D_T $ に等しいことと、$ T $ が正則であることの同値性を示し、二つ目は、$ T_\varepsilon $ の定義域が $ D_T $ の閉包に含まれることを証明する。これは、反射的空間における既知の結果を一般のバナッハ空間へ拡張するものである。

ABSTRACT

In this note we use recent results concerning the sum theorem for maximal monotone multifunctions in general Banach spaces to find new characterizations and properties of regular maximal monotone multifunctions and then use these to describe the domain of certain enlargements.

研究の動機と目的

• 一般のバナッハ空間における正則な最大単調多重関数の新しい特徴づけを、最近の和定理の結果を用いて提供すること。
• 正則な最大単調多重関数と有界な最大単調多重関数の和が最大単調となる条件を確立すること。
• 最大単調多重関数の二種類の拡大、$ T^\varepsilon $ と $ T_\varepsilon $ の定義域を特徴づけること、特に元の定義域の閉包との関係を明らかにすること。
• 正則性と拡大の構造の関係を明確にすること、特に非反射的空間における関係を解明すること。

提案手法

• 一般のバナッハ空間における最大単調多重関数の和定理を用いて、正則性の新しい特徴づけを導出する。
• 有界単調多重関数の定義域が空間全体に及ぶことを保証するため、Debrunner-Flor拡張定理を適用する。
• 関数 $ g_{\lambda,x}(z) = \lambda\|z - x\| $ の部分微分を用いて、摂動 $ T + \partial g_{\lambda,x} $ を構成し、その最大単調性を分析する。
• 二種類の拡大を導入する：$ T^\varepsilon(x) = \{x^* \in X^* : \langle x^* - y^*, x - y \rangle \geq -\varepsilon \text{ for all } (y,y^*) \in G(T)\} $ および $ T_\varepsilon(x) = \{x^* \in X^* : \langle x^* - y^*, x - y \rangle \geq -\varepsilon \text{ for all } (y,y^*) \in G(T)\} $、それらの定義域の性質を分析する。
• 正則性を特徴づけるために、量 $ L(x,x^*,T) = \sup_{y \neq x} \frac{\langle x^* - y^*, x - y \rangle}{\|x - y\|} \vee 0 $ を用い、$ L(x,x^*,T) = d(x^*, T(x)) $ と表す。
• 双対に強く最大単調な多重関数の概念を用いて、正則性と同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のバナッハ空間において、正則な最大単調多重関数と有界な最大単調多重関数の和が最大単調となる条件は何か？
• RQ2 $ T^\varepsilon $ の定義域が $ T $ の定義域に等しいのはいつか？ そしてこれは正則性とどのように関係するか？
• RQ3 正則な最大単調多重関数 $ T $ に対して、拡大 $ T_\varepsilon $ の定義域は $ D_T $ の閉包とどのように関係するか？
• RQ4 正則性と拡大 $ T^\varepsilon $ および $ T_\varepsilon $ の構造の正確な関係は何か？
• RQ5 すべての $ x \in X $ および $ \lambda > 0 $ に対して、$ T + \partial g_{\lambda,x} $ が最大単調であるという条件により、正則性を特徴づけられるか？

主な発見

• 正則な最大単調多重関数 $ T $ と任意の有界な最大単調多重関数 $ S $ の和は最大単調である。これは、Debrunner-Flor拡張定理と $ S $ の有界性を用いて示される。
• 最大単調多重関数 $ T $ が正則であることと、すべての $ x \in X $ および $ \lambda > 0 $ に対して $ T + \partial g_{\lambda,x} $ が最大単調であることとは同値である。これは正則性の新たな操作的基準を提供する。
• $ T^\varepsilon $ の定義域が $ D_T $ に等しいことと、$ T $ が正則であることとは同値である。これは正則性の定義域に基づく特徴づけを確立する。
• 任意の正則な最大単調多重関数 $ T $ に対して、拡大 $ T_\varepsilon $ の定義域は $ D_T $ の閉包に含まれる。すなわち、$ D_{T_\varepsilon} \subseteq \overline{D_T} $ が成り立ち、これは反射的空間における既知の結果を一般のバナッハ空間へ拡張するものである。
• 正則性は、すべての $ (x,x^*) \in X \times X^* $ に対して $ L(x,x^*,T) = d(x^*, T(x)) $ が成り立つことと同値であり、これは正則性の定義的性質である。
• $ T $ が正則であるとき、拡大 $ T^\varepsilon $ は $ d(x^*, T^\varepsilon(x)) = L(x,x^*,T^\varepsilon) $ を満たす。これは、距離的定義と単調性に基づく定義の整合性を示している。